El Triángulo de Reuleaux

Además de un círculo, ¿qué otra forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no caiga a través de un agujero?

Parece una pregunta cuando menos curiosa, pues es muy probable que jamás nos la hayamos planteado… vamos, que pensamos en otras muchas cosas antes que en esto.No obstante, si intentásemos contestar a la pregunta, seguramente lo primero que se nos ocurriría sería recurrir a los polígonos (triángulo, cuadrado, pentágono…).

 Hay que tener en cuenta que la figura que buscamos debe tener como ancho máximo el ancho del agujero, para que encaje a la perfección.

 Pero ¿qué ocurriría con las tapas con forma de polígono?  En los polígonos la anchura varía (por ejemplo, en un cuadrado, si medimos de vértice a vértice opuesto la anchura es la de la diagonal, y si medimos de un vértice a otro vértice consecutivo la anchura es la del lado, que es menor), por lo que si colocamos las tapas con forma poligonal por su ancho menor se podrían colar por el agujero.

 Estamos buscando, por tanto, una curva cerrada que tenga anchura constante, pero… ¿existe otra que no sea la circunferencia? Pues bien, El triángulo de Reuleaux también tiene la particularidad de ser una curva de anchura constante.

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Si observamos la figura anterior, siempre hay cuatro puntos de tangencia con el cuadrado, uno en cada lado, y dichas tangentes son paralelas dos a dos, por lo que el ancho es el mismo en todo momento.

Trazar un triángulo de Reuleaux es bastante sencillo. Partiendo de un triángulo equilátero y haciendo centro en uno de los vértices, se traza un arco de circunferencia que una los otros dos vértices. La operación se repite para cada vértice y así, eliminando el triángulo inicial, se obtiene el triángulo de Reuleaux.

 

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Esta curva fue desarrollada por el científico e ingeniero alemán Franz Reuleaux (1829 – 1905), al que se considera el padre de la cinemática.

En general, una curva de anchura constante o de diámetro constante es, por definición, aquella curva cerrada cuya anchura, medida por la distancia entre dos líneas paralelas tangentes a sus dos bordes opuestos, es la misma independientemente de la dirección de estas dos paralelas. En general, cualquier polígono regular curvo impar (triángulo, pentágono, heptágono…) es una curva de anchura constante. En particular, el caso del triángulo equilátero curvo corresponde al triángulo de Reuleaux.

Pero ¿el triángulo de Reuleaux sirve para algo más que para la recreación matemática o como tapa de alcantarilla? Pues sí, más de lo que podríamos imaginar. Éstas son algunas de sus aplicaciones:

  • En 1914 el ingeniero británico Harry James Watt patentó una broca con forma de triángulo de Reuleaux que va montada en un dispositivo especial que hace que gire un tanto excéntricamente y así puede taladrar un agujero con una forma casi exactamente cuadrada. En la figura se puede ver la rotación de esta broca dentro de un agujero cuadrado. Se ve que solo en las esquinas dicha broca deja cuatro pequeñas áreas sin cubrir, que suman un 1,33% del área del cuadrado

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  • El triángulo de Reuleaux forma parte de un mecanismo que actualmente es usado en la mayoría de los proyectores de cine.
  • Esta figura, por su elegancia y por la sencillez de su trazado ha sido un motivo muy utilizado en arquitectura, sobre todo en el periodo gótico.

  • Algunos lápices son fabricados con este perfil, en lugar de los tradicionales de sección redonda o hexagonal. Por lo general son promocionados como más cómodos y que producen un agarre más adecuado, además de ser menos probable que rueden fuera las mesas.
  • Un triángulo de Reuleaux puede rodar fácilmente, pero no funciona bien como rueda debido a que no tiene un centro fijo de rotación. Sin embargo, en la figura adjunta la tabla puede hacerse avanzar de manera perfectamente horizontal.

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En el rodillo de la izquierda habrá un eje que solo se desplace horizontalmente, mientras que en la sección del rodillo de la derecha, que es un triángulo de Reuleaux, todos los puntos tienen algo de movimiento vertical, como se aprecia en la animación de la broca de Harry Watt.

  • El triángulo de Reuleaux, bueno no exáctamente el triángulo pero sí este tipo de figuras que estamos viendo, lo podemos también encontrar en las antiguas monedas de quinientas pesetas, las cuales contaban con un heptágono equilátero curvo inscrito en ambas caras de la moneda:

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O en otras monedas:

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  • Y, por qué no, también se pueden construir vehículos con ruedas que no son circulares:

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3 comentarios en “El Triángulo de Reuleaux

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