Probabilidad empezando desde cero. Capítulo 2: Sucesos y más

En el primer capítulo de “Probabilidad empezando desde cero”, comenzamos definiendo qué es un  experimento, y diferenciamos entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas, para después llegar a definir qué es eso de la probabilidad de un suceso. Para quienes no hayan visto dicho capítulo, les dejo aquí el enlace directo al mismo:

Capítulo 1: Comencemos

Ahora que tenemos una idea de qué es la probabilidad de un suceso, antes de profundizar más, considero que es importante tener claros una serie de conceptos. Como las cosas se suelen ver mejor con ejemplos, vamos a recurrir de nuevo al experimento del lanzamiento de un dado cuyas caras están numeradas del 1 al 6.

Como ya se ha comentado, en un experimento aleatorio se puede determinar el conjunto de posibles resultados del experimento, aunque no podemos predecir previamente un resultado particular (sabemos que si lanzamos el dado saldrá un número del 1 al 6, pero no podemos decir con seguridad qué número va a salir en el siguiente lanzamiento). Pues bien, a ese conjunto de posibles resultados se le denomina espacio muestral, y podemos designarlo con la letra griega (omega). Así, en nuestro ejemplo del dado, el espacio muestral será:

Por otra parte, cuando hablábamos de probabilidad, decíamos probabilidad de un suceso, y nos puede surgir la siguiente duda: ¿Es lo mismo suceso que resultado? Son conceptos diferentes y conviene aclararlo. Digamos que en un experimento aleatorio, con un determinado espacio muestral , un suceso sería cualquier subconjunto de dicho espacio muestral (recordemos que los elementos del espacio muestral son todos los resultados posibles del experimento). Así, si el suceso está compuesto de un solo resultado, decimos que es un suceso elemental o simple, y si está formado por más de un resultado se dice que es un suceso compuesto.

Siguiendo con el ejemplo del dado, sucesos elementales serían, por ejemplo:

(Comprende un solo resultado)

(Comprende también un solo resultado)

Y, sucesos compuestos serían, por ejemplo:

(El suceso está formado más de un resultado, en este caso por tres)

(El suceso está formado por tres resultados)

 A parte de esto, podemos hablar también de sucesos seguros, que serían aquellos que siempre se realizan (por ejemplo, “que salga un número natural del 1 al 6”) ya que los resultados que lo componen son justamente todos los resultados del experimento que constituyen el espacio muestral, y sucesos imposibles, que son justamente lo contrario de los anteriores, es decir, que nunca tienen lugar (por ejemplo, “que salga un siete”) ya que el o los resultados que lo forman no pertenecen al espacio muestral, es decir, no son resultados posibles del experimento.

Con esto, espero que haya quedado más clara la diferencia existente entre resultados de un experimento aleatorio y sucesos aleatorios.

Llegados a este punto, podríamos seguir hablando ahora de las relaciones que puede haber entre distintos sucesos y las operaciones entre ellos pero, como lo prometido es deuda y tampoco quiero que ésto resulte excesivamente pesado, lo vamos a dejar para más adelante y vamos a ver cómo podemos calcular la probabilidad en determinados casos sin necesidad de realizar una infinidad de repeticiones del experimento como se vió en el Capítulo 1.

 Cuando en un experimento aleatorio todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir (son equiprobables), o dicho de otra manera, si todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables, se tiene que:

 

Bueno, ésto nos facilita bastante las cosas. Pero, para tenerlo más claro, vamos a aplicarlo a nuestro experimento del dado numerado del 1 al 6. Para ello, si os parece bien, vamos a calcular las probabilidades teóricas de cada uno de los sucesos que hemos visto antes. En adelante, denotaremos la probabilidad de un suceso A como P(A), P por abreviación de probabilidad y el suceso entre paréntesis.

De momento, parece bastante sencillo y, por otra parte, lógico.

Conviene recordar que, como hemos mencionado antes, todo esto es válido cuando los sucesos elementales son equiprobables. Lo normal es que nos preguntemos ahora: ¿Cómo puedo saber si los sucesos elementales (equivale a decir los resultados del experimento) son equiprobables? Pues, si nos vamos a la definición dada en el Capítulo 1 de probabilidad, podemos considerar que es así cuando al repetir un numero de veces muy alto el experimento las frecuencias relativas de cada suceso elemental (veces que ocurre el suceso elemental) son iguales.

Está claro que esto nos lleva un coste de tiempo considerable, aunque una vez comprobado, podríamos “jugar” tranquilamente con las probabilidades de sucesos del experimento. No obstante, afortunadamente, en algunos casos la probabilidad teórica se puede definir atendiendo a la simetría del objeto que genera los resultados, como en el caso del lanzamiento de un dado o de una moneda. En ambos casos, si el dado o la moneda no están “trucados”, habrá equiprobabilidad de los resultados posibles.

Para terminar, rescatemos la tabla de frecuencias relativas que se vió en el Capítulo 1:

Si nos fijamos, a medida que aumenta el número de lanzamientos, dichas frecuencias relativas tienden a 0,166… y las probabilidades que hemos obtenido antes de que “salga un 2”, “salga un 5” son de 1/6, que es 0,1666… Así que parece que nuestro dado del experimento está bastante equilibrado, y podríamos suponer que los resultados posibles son equiprobables.

Pues ésta es una forma de saber si un dado está trucado o no, y no es difícil trucar un dado la verdad, basta con acercar bastante su centro de gravedad a la cara del dado que queramos que salga más veces (o visto de otra manera, alejarlo de la cara que queremos que salga menos veces) o imantar una de las caras (pero esto sería más fácil de detectar, yo me llevaría un imán a un casino). En un dado trucado observaremos que al aumentar el número de lanzamientos las frecuencias relativas se estabilizan, pero en torno a valores que son diferentes para cada cara. ¡Mucho ojo con los casinos!

En el siguiente capítulo nos haremos con más herramientas para poder calcular probabilidades en casos no tan sencillos.

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4 comentarios en “Probabilidad empezando desde cero. Capítulo 2: Sucesos y más

  1. Como siempre perfectamente explicado, para que lo entienda cualquiera, aun sin tener conocimientos matemáticos. Muy bien.
    La probabilidad también me gusta mucho (aunque no tanto como la geometría).
    Habrá un tercer capítulo? , o mejor aún, plantearás algún problema probabilístico?

    • Gracias Ada. Tengo pendiente seguir con más capítulos. Lo quise hacer tan “desmenuzado” y sencillo paso a paso, que me llevó más tiempo y tuve que aparcarlo, pero quiero seguirlo.

      A mi también me pasa igual, me gusta la probabilidad, aunque más aún la geometría (es lo que más me gusta).

      Sí que tengo pensado poner problemas de probabilidad, pero antes quería haber hecho estos capítulos explicando todo lo básico necesario, para así poder referenciarlos en las resoluciones y que cualquier persona tenga ya la base necesaria para poder hacerlos.

      A ver si saco tiempo y lo retomo. Sería fácil y rápido coger cualquier libro de texto y poner aquí eso, pero no me interesa, lo que quiero es que lo pueda entender todo el mundo, y sobretodo eso “entenderlo”.

  2. Pingback: Bitacoras.com

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