Trisección de un ángulo… con origami

Para los antiguos griegos, el método válido para realizar construcciones geométricas era el de la regla y el compás.

Dicho método consiste en el trazado de puntos, rectas (o segmentos) y circunferencias (o arcos) con una regla de longitud infinita, sin marcas que permitan medir o trasladar distancias, un solo borde, y un compás.

Una de las cosas útiles que se puede hacer con regla y compás es dividir cualquier ángulo en otros dos ángulos iguales, o lo que es lo mismo, trazar la bisectriz de un ángulo.

Bisection_construction

Como no parece muy complicado lo de dividir un ángulo en dos por este método de la regla y el compás, lo siguiente que se nos puede ocurrir es trisecar un ángulo, es decir, dividirlo en tres ángulos iguales.

Pues bien, salvo algunos casos particulares, lo tenemos complicado con este método. De hecho durante siglos muchos matemáticos, tanto aficionados como profesionales, intentaron el caso general sin éxito, hasta que en 1837 el matemático francés y experto en aritmética Pierre Wantzel demostró en su artículo Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas que no era posible.

Pero, no os preocupéis que no está todo perdido… hay mundo más allá de la regla y el compás, y podemos trisecar un ángulo si se utiliza un conjunto diferente de herramientas.

Los axiomas de Euclides no son los únicos que describen lo que se puede hacer en una pieza plana de papel… también tenemos los axiomas del origami (papiroflexia). Y resulta que doblar el papel con un solo plegado plano es más poderoso que el uso de una regla y el compás.

Así que, ¿cómo podemos trisecar un ángulo con el origami?

Vamos a verlo.

Lo primero que tenemos que hacer es delimitar el ángulo. Podemos conseguirlo con un simple pliegue que atraviese la esquina inferior del papel. (Primer paso)

triseccionpaso1

Ya tenemos el ángulo que queremos trisecar.

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El paso a realizar ahora es hacer un pliegue que sea paralelo al borde inferior del papel, ya que el borde inferior representa uno de los límites de nuestro ángulo. Dicho pliegue debemos hacerlo en algún lugar de la mitad superior de la hoja de papel. Para ello elegimos un punto en la mitad superior y hacemos un pliegue a través de dicho punto de manera que sea perpendicular al lateral de la hoja (con mucho cuidado doblando el lateral de la hoja sobre sí mismo). De esta manera, el pliegue queda paralelo a la parte superior e inferior del papel. (Segundo paso)

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Ahora doblamos la parte inferior del papel haciéndola coincidir con el pliegue horizontal que habíamos hecho antes en la mitad superior de la hoja. Nos quedan así dos pliegues horizontales y paralelos a la parte inferior del papel, como se muestra en la siguiente imagen. (Tercer paso)

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El siguiente paso es un poco más difícil, pero tampoco demasiado. Con el pliegue que vamos a hacer haremos coincidir dos puntos con dos líneas. Tenemos que conseguir dos cosas: la primera es llevar el punto en el que el pliegue horizontal superior se encuentra con el borde del papel (el extremo de la izquierda de dicho pliegue) hasta la línea inclinada que marca el límite de nuestro ángulo; La segunda es llevar la esquina inferior izquierda del papel hasta el pliegue horizontal inferior. Tenemos que conseguir las dos cosas a la vez.

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Es cuestión de ir probando, sin llegar a marcar el pliegue, hasta conseguir la colocación que hemos dicho que queremos. Una vez que la tengamos, hacemos ya el pliegue. (Cuarto paso)

Debería quedarnos algo similar a esto:

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¡Que nadie se sorprenda por la línea roja! No estaba antes… ahora explico porqué y cómo la hemos dibujado.

Si observáis la imagen, ahora el pliegue horizontal inferior queda inclinado en la parte que se ha doblado encima, y lo que hemos hecho es prolongarlo en rojo hasta la parte superior del papel.

Lo que tenemos que hacer ahora es doblar a lo largo de esta línea inclinada. (Quinto paso)

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Si se abre la hoja se observa que este último doblez ha generado un pliegue que va hacia la esquina inferior izquierda, dentro de los límites de nuestro ángulo inicial.

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Con el papel abierto, si plegamos de nuevo por el mismo sitio, queda ya marcado todo el pliegue hasta la esquina inferior izquierda.

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Podemos ahora abrirlo de nuevo y terminar de dibujar en rojo la línea hasta la esquina.

¡Ya casi lo tenemos! El último paso es doblar el borde inferior del papel hasta hacerlo coincidir con este último pliegue (la línea roja).

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Ábrelo y… ¡Listo! ¡Has trisecado un ángulo!

El último pliegue obtenido era la línea que nos faltaba (representada también en rojo en la imagen).

triseccionpaso13

¡Has resuelto un viejo problema de cientos y cientos de años con unos cuantos pliegues!

Más de uno habrá pensado que cómo sabe que los tres ángulos obtenidos son iguales. Está claro que lo parecen pero ¿podemos estar seguros de que lo son?

Pues ya para terminar,  veamos la demostración de por qué funciona todo esto que hemos hecho.

trisecciondemo

¡Qué nadie se asuste con tanta línea, que lo vamos a ver poco a poco!

En la imagen de arriba, el ángulo entre la línea azul y el eje horizontal inferior es el ángulo a trisecar, y queremos demostrar que  α = β = γ .

El segmento EF es el pliegue que hicimos en el segundo paso, y el segmento GH es el que obtuvimos en el tercer paso.

La línea roja es el pliegue resultante del cuarto paso de la secuencia de plegados, y los puntos e y b son precisamente los que intentábamos hacer coincidir en dicho paso.

Ahora nos fijamos en el triángulo EBb. Sabemos que la longitud del segmento EG es igual a la longitud del segmento GB (por cómo hicimos el pliegue del tercer paso), y también sabemos que el segmento Gb, que es la altura del triángulo EBb, es perpendicular al segmento EB. En otras palabras, la altura Gb del triángulo divide al lado opuesto EB al medio. Y todo esto se traduce en que el triángulo EBb es isósceles.

Por otro lado, la imagen espejo del triángulo EBb cuando se refleja en la línea de pliegue roja es el triángulo ebB y, por lo tanto, este último es también isósceles.

La altura gB del triángulo ebB es la bisectriz de su ángulo en B, por lo que  α = β. Por simetría especular tenemos que el ángulo β es igual al ángulo δ del triángulo GbB. Y, puesto que el segmento GH es paralelo al segmento BC (el borde inferior del papel), tenemos que γ = δ. Con lo que β = γ.

Así que ya tenemos demostrado lo que queríamos:

α = β = γ

Es decir, los tres ángulos obtenidos en el proceso de plegado son iguales, y son el resultado de la trisección del ángulo inicial.

Y todo esto lo hemos conseguido sólo haciendo pliegues al papel.

Esta entrada participa en la “Edición 6.9: el conjunto de Cantor” del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

Fuentes de esta entrada:

Calendario de Adviento (y matemático) 2015 de Plus Magazine (ZTFNews.org)

Solve a Very Old Problem (wild.maths.org)

The power of origami. Trisecting the angle using origami — proof (plus.maths.org)

Imágenes tomadas de:

Solve a Very Old Problem (wild.maths.org)

The power of origami. Trisecting the angle using origami — proof (plus.maths.org)

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6 comentarios en “Trisección de un ángulo… con origami

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