Botella de Klein… La “botella” que no tiene ni interior ni exterior

Botella de Klein

Centro de reciclado de botellas de Klein

Traducción: “Centro de reciclado de botellas de Klein”

¿Qué es una botella de Klein?

Es un ejemplo de superficie (variedad topológica de dimensión 2) compacta (cerrada y acotada), conexa (de una pieza) y no orientable (contiene bandas de Möbius).

¿Eeeeehhhhnnnnn?

De acuerdo, vamos a dejarlo en que sería una “botella” que no tiene ni interior ni exterior, y tiene una sola cara. Digamos que se podría recorrer en su totalidad de forma continua, sin salto alguno.

Botella de Klein inmersa en el espacio tridimensional

Representación bidimensional de la Botella de Klein inmersa en el espacio tridimensional. (Autor de la imagen: Tttrung. Licencia: CC BY-SA 3.0)

Por eso el señor de la VIÑETA que trabaja en el centro de reciclado de botellas de Klein que, como no puede ser de otra manera, funciona como una botella de Klein, ya no sabe si “entra”, “sale” o qué demonios está haciendo.

Fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein.

Al parecer, el nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error. [1]

¿Cómo se construye una botella de Klein?

(Aviso que esto ya no es tan intuitivo, pero es muy interesante)

La botella de Klein es el cociente de un cuadrado cuyos lados están identificados como muestra la figura:

Construcción de una botella de Klein

Botella de Klein como cociente de un cuadrado [2]

 Se puede ver también en esta animación:

Construcción de una botella de Klein

Construcción de una botella de Klein (fuente)

Es importante tener en cuenta que, en realidad, la botella de Klein “no vive” en dimensión 3. En todas las representaciones de esta superficie, se autointerseca al realizar la identificación. Esta es la prueba de que no puede embeberse (incluirse de manera “fiel”) en el espacio en el que vivimos. La botella de Klein vive” de manera natural en dimensión 4. [2]

Añadiendo una cuarta dimensión al espacio tridimensional, conseguimos que la botella pase a través de sí misma sin necesidad de un agujero. Para ello empujamos suavemente un trozo de tubo que contenga la intersección fuera del espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se autointerseca en el plano; las intersecciones se pueden eliminar levantando una línea fuera del mismo. [1]

Bueno, ya avisé de que esto no iba a ser tan sencillo.

Y es que lo de la cuarta dimensión es algo que se escapa del alcanze de los mortales (me incluyo en ellos), por aquello de que no lo visualizamos.

Lo importante es quedarse con la idea de la peculiaridad de esta “botella”.

Con eso y con esto otro que se entiende bastante mejor y además es muy interesante:

Si seccionamos la botella de Klein en dos partes a lo largo de su plano de simetría resultan dos bandas de Möbius, cada una imagen especular de la otra (como si una de las bandas se mirase al espejo). Esto significa que, como en topología cortar es el proceso inverso a pegar, otra forma de construir una botella de Klein es pegando dos bandas de Möbius.

Pero además, si se corta por la línea roja de la imagen anterior (no se secciona completamente como antes), se obtiene una banda de Möbius. Lo cuál según acabamos de ver implica que, siguiendo el proceso inverso, se puede construir igualmente la botella de Klein apartir de una banda de Möbius.

Lo podéis visualizar mucho mejor con este vídeo hecho en la Universidad de Hannover

Bueno, espero haber podido acercar al menos un poco esta curiosa superficie en forma de “botella” tan particular.

Viñeta de Mark Heath.

Fuentes consultadas:

[1] Wikipedia. La enciclopedia libre (https://es.wikipedia.org/wiki/Botella_de_Klein)

[2] Cuaderno de Cultura Científica (http://culturacientifica.com/2015/12/09/la-botella-de-klein-geometria-palindromica/)

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12 comentarios en “Botella de Klein… La “botella” que no tiene ni interior ni exterior

  1. Excelente maestro Artacho…me hizo recordar la asignatura de “Topología” que nos impartió el Catedrático ya fallecido Roque Ramos Motiño…( 1981 Escuela Superior del Profesorado Francisco Morazán; actual U.P.N.F.M.) nos dio excelentes ejemplos de superficies con la manda de Mobius, que supera cualesquier entendimiento para nuestras mentes tridimensionales de la geometría euclidea, como apuntan anteriormente ya era suficiente tres dimensiones para complicar los teoremas básicos en dos planos…no digamos las n-uplas en donde se pueden ver los espacios abiertos…

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  3. Le saludo profesor Amadeo.
    Excelente la animación sobre la botella de klein o superficie de Klein.
    La cuarta dimensión no es para mortales, a mi me cuesta entender la tercera.
    Desconocía el problema de la traducción. Fläche significa área o superficie y Flasche significa botella.
    Felix Klein (Felix Christian Klein. 1849-1925) signfica, pequeño Felix.

    • Gracias José F.
      El tema de la cuarta dimensión y conceptos como cociente o inmersión no son ya tan intuitivos. Pero me parecía interesante, aprovechando la viñeta del centro de reciclado de botellas de Klein, acercar un poco esta curiosa superficie a las personas que no la conociesen o que, habiéndolo escuchado o visto en algun momento, no supiesen en qué consistía.

      Muchas gracias por el comentario y el aporte José F.
      Saludos.

  4. Genial! Me encantó la entrada.
    Pobre hombre trabajar en un lugar asi, caminar y caminar sin final al que llegar.
    Gracias por hacernos llegar tanta matemàtica de una forma tan entretenida y tan bella.

    • Gracias Claudia.
      Me alegra que te haya gustado.
      Es un concepto el de la “botella” de Klein algo complicado de entender, principalmente la construcción y no tanto la idea en si, pero es muy interesante.
      Gracias por el comentario.
      Saludos.

  5. Muy interesante esta entrada, pero cuál sería la aplicación práctica de esta “botella”?.
    Tampoco mi capacidad cerebral puede concebir la cuarta dimensión.

    • Aplicación “práctica” a nuestra realidad en tres dimensiones de algo que tiene su realidad en cuatro, hasta lo que yo llego (que no es mucho) no creo que la tenga… al menos de momento, que ya sabemos cómo cambian las cosas y la concepción que se tiene de la realidad con el tiempo.

      La aplicación de la superficie de Klein creo que se queda en puramente matemática dentro del campo de la topología. Pero en muchas ocasiones conceptos así se convierten en piezas fundamentales para llegar a otros que sí tienen una aplicación práctica directa.

      Gracias una vez más por comentar y por seguir el blog.

      Un saludo.

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