¿Cuál es el mayor número que puedes obtener utilizando tres dígitos?

Supón que puedes utilizar tres dígitos, los que tú quieras, y te piden que obtengas el mayor número que seas capaz con ellos.

Por supuesto, lo debes hacer en el sistema de numeración decimal (el que utilizamos habitualmente).

numerosmontana

Puestos a escoger dígitos optas por utilizar el 9, el mayor de entre los que dispones (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9).

Y lo primero que se te ocurre es formar con tres nueves el…

999

Pero…

… nos han dicho que solo podemos emplear tres dígitos, pero nada de que no podamos hacer operaciones con ellos. Así es que vamos a ver qué se puede hacer.

Eso sí, vamos a poner una condición a todo esto: no se pueden utilizar paréntesis, ni tampoco otro tipo de notaciones diferentes de la habitual y clásica como, por ejemplo, la notación de Conway.

Es obvio que la suma no nos va a ayudar mucho…

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Y menos aún utilizar la resta.

Además, sabemos que…

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por lo que estamos desperdiciando dígitos utilizando la suma pudiendo emplear la multiplicación.

Probemos…

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¡Nada! Seguimos estando por debajo del 999 con el que empezamos todo esto.

Pero…

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Una vez más no estábamos aprovechando bien nuestros tres dígitos. Conseguiremos mucho más si utilizamos la potenciación

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¡Muchísimo mejor!

Y además, parece claro que para obtener un número más grande nos interesa que el exponente sea lo mayor posible, lo cuál es lógico ya que, para lo que queremos, es mucho mejor multiplicar por sí mismo el 9 apareciendo 99 veces que multiplicar por sí mismo el 99 apareciendo solo 9 veces.

Pues, si lo pensamos un poco, con nuestros tres nueves tenemos aún una forma de conseguir un exponente mucho mayor…

mayornumero_10

… y esto es equivalente a multiplicar el 9 por sí mismo apareciendo trescientos ochenta y siete millones cuatrocientos veinte mil cuatrocientos ochenta y nueve veces.

¿Qué número se obtiene?

Me váis a permitir que no lo escriba aquí completo, pero os diré que tiene 369.693.100 dígitos.

Ahora nuestro 999 resulta insignificante frente al flamante…

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Pero…

¿Esto es todo lo que podemos hacer o aún nos queda algún “arma matemática” más?

Las personas que siguen el blog conocerán una entrada que publiqué hace poco que se llamaba…

Factorial… 3! No es sorpresa o admiración hacia el tres

factorial_01b

… y en ella hablábamos del factorial.

Quienes la hayan leído recordarán el efecto espectacular que tenía en los números en los que se aplicaba…

… ¿Por qué no utilizarlo?

Y además lo vamos a aplicar sobre cada uno de nuestros nueves…

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¿Qué es lo que habremos conseguido ahora?

Teniendo en cuenta que…

mayornumero_12b

Nuestro nuevo número con tres nueves es equivalente a…

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Que sería multiplicar 362.880 por sí mismo apareciendo 362.880 veces, y el resultado obtenido (un número que tiene nada más y nada menos que 2.017.527 dígitos) serían las veces que volvería a aparecer el 362.880 multiplicado por sí mismo.

Es decir, para calcular nuestro número “fabricado” con tres nueves, tendríamos que multiplicar 362.880 por sí mismo apareciendo 2.017.527 veces…

… la cifra resultante, solo con imaginarla, da vértigo, y deja a nuestro

mayornumero_11

por los suelos.

Espero que os haya gustado y no os hayáis mareado con tanto número.


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11 comentarios en “¿Cuál es el mayor número que puedes obtener utilizando tres dígitos?

  1. Fantástica entrada. Gracias Amadeo, por tu artículo. Muy ameno, y te hace pensar y disfrutar. Muy bien explicado, gráficos fantásticos.

    No obstante usar la Función factorial, aunque sea didáctico, no me convence porque aplica una función a los números, lo cual me resulta chocante (¿porque no proponer 9!!!^9!!!^9!!!, cuantos factoriales puedo hacer?). A pesar de eso me parece fantastico introducir el factorial por lo didáctico del asunto.

    Y por último, preguntarte si sería válido considerar infinito como número. En ese caso tendrías que ampliar tu artículo con el siguiente “numero”, 1/0 😉

    • Gracias a ti David por el comentario.

      Respecto a considerar infinito, no es un número como tal (que es lo que se busca) sino un concepto.

      Y en cuanto al factorial, por eso precísamente comienzo la entrada poniendo la restricción de no poder utilizar paréntesis, porque si queremos aplicar el factorial a otro factorial, este último debe estar entre paréntesis, de lo contrario no está bien escrito matemáticamente. Precísamente es así para distinguirlo del doble factorial (representado por !!), que arroja un valor menor que el del factorial para el mismo número (por ejemplo: 9!=9•8•7•6•5•4•3•2•1 y 9!!=9•7•5•3•1).

      En cuanto a si es correcto o no emplearlo, no solo se considera la función factorial como tal, sino que también se acepta como una operación, de ahí que la haya utilizado.

      Gracias por comentar David.
      Un abrazo.

  2. Hola Amadeo

    Ante todo muchas gracias por tu comentario. Entiendo según lo que me explicas que no es lo mismo (9^9)^9 que 9^(9^9), creo que este ha sido mi error. Al no estar los paréntesis he sufrido un lapsus matemático mental imperdonable. Muy agradecido
    Josep

  3. Hola Amadeo, tengo una duda con el 9 elevado a 9 elevado a 9. Vale, el primer 9 es la base o sea un número, los otros 9 son potencias o sea no son números, sino “números de veces” a que se somete la base a multiplicarse por si misma, por lo tanto no pueden actuar como bases, y tu usas la primera potencia como base . No debiera debiera ser el resultado 9 elevado a 81?. O sea una base, (número) sometida a una potencia de una potencia ( números de veces), es igual a la base elevada al producto de potencias. Por tanto seria mayor 9 elevado a 99. Es correcto lo que digo? o donde estoy errando. Todo esto expresado con todo el afecto que te mereces por tu dedicación a la divulgación de las matemáticas.

    • Hola Josep.
      Lo que tú me comentas es una potencia de una potencia, es decir una base formada por una potencia elevada a un exponente. Eso se expresa con la base (que sería una potencia) entre paréntesis al no ser solo un número positivo (como se hace por ejemplo con las bases formadas por fracciones o por números negativos) elevada a un exponente: (9^9)^9 y, en ese caso, se calcula manteniendo la base de la potencia que forma la base y utilizando como exponente el producto del exponente que formaba parte de la base y el exponente al que estaba elevada la misma (lo que con “abuso” del lenguaje se suele decir de “se mantiene la base y se multiplican los exponentes”, que es bastante impreciso) 9^(9×9) = 9^81.

      Sin embargo, si observas yo no pongo paréntesis, de hecho comento al principio la restricción de no utilizarlos. Lo que yo he expresado es una base (9) elevada a un exponente que es una potencia (9^9). Es muy diferente a una potencia de una potencia. En este caso se calcula obteniendo el primer lugar el valor del exponente (9^9) y después elevando la base (9) a dicho valor.

      Espero haberte aclarado la duda. Es normal tenerla, porque éste es precisamente un tema en el que mucha gente comete errores y no termina de comprenderlo.

      Un saludo.

  4. Pingback: Bitacoras.com

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