Solución de Star Maths 2… un buen reto de ecuaciones.

Hace casi 2 años, el 4 de mayo de 2018, propuse un reto de ecuaciones para celebrar el Día de Star Wars.

En todo este tiempo apenas ha habido personas que hayan dado con la solución final y, durante estos días de confinamiento por culpa del COVID-19 en los que aún estamos inmersos y en los que las visitas al blog se han multiplicado por tres (entre 30.000 y 40.000 vistas diarias), me ha preguntado mucha gente en las distintas redes sociales por cómo se puede resolver.

Tengo que reconocer que en esta ocasión, el reto me quedó bastante más complicado que los habituales, como el propio Star Maths 3 posterior, Dragon Math, Stan Lee Math, Math Halloween, y otros muchos que podéis encontrar en el blog.

Vamos, que se me fue un poco de las manos.

El problema que propuse es el siguiente:

Pues bien, sin que nadie se asuste por lo que sigue, vamos con uno de los posibles procedimientos, porque no es el único, para llegar a la SOLUCIÓN final.

Si nos fijamos bien tenemos 7 incógnitas y, aunque en el cálculo final que se nos pide solo aparecen 5 de ellas, es necesario conocerlas todas para poder llegar al resultado final.

Para quienes no estén familiarizados con los personajes de Star Wars, paso a identificar los que aparecen en este problema para que así todo el mundo sepa bien a quién me estoy refiriendo en cada momento:

En primer lugar voy a enumerar las ecuaciones para referirme a ellas más fácilmente.

Como parece obvio, empezamos por la ECUACIÓN 1, cuya única incógnita es el Stormtrooper, y resolviéndola  obtenemos su valor: 

 

Ahora nos vamos a la ECUACIÓN 3. En la que, sustituyendo el valor del Stormtrooper por 8, operando y después despejando, obtenemos el valor de Chewbacca en función de Darth Vader.

Podría haber despejado a Darth Vader, en lugar de a Chewbacca, y haber obtenido al primero en función del segundo, pero…

¡Me he sentido atraído por el lado oscuro!

Por eso comentaba al principio que hay distintos caminos para resolver el problema.

Ésta va a ser la táctica que vamos a seguir en adelante, vamos a ir sustituyendo lo que vayamos obteniendo en otras ecuaciones hasta que consigamos llegar a una ecuación en la que haya una única incógnita y, por el camino que he escogido, será Darth Vader.

Nos vamos ahora a la ECUACIÓN 2 donde, sustituyendo el Stormtrooper y Chewbacca por lo obtenido, y despejando, obtenemos a C-3PO en función de Darth Vader.

Con esta nueva expresión de C-3PO obtenida y el valor del Stormtrooper, sustituyéndolos en la ECUACIÓN 7, operando y despejando, obtenemos a la Princesa Leia en función de Darth Vader.

Ahora, teniendo ya las expresiones de Chewbacca, C-3PO y la Princesa Leia en función de Darth Vader, las sustituimos en la ECUACIÓN 4 y obtenemos así una ecuación cuya única incógnita es Darth vader.

Y aquí se complica un poco la resolución, porque nos sale una ecuación irracional y de expresión un poco «fea», pero esto último se puede arreglar. Cuando la resolvamos tendremos el valor de Darth Vader, y podremos obtener también los valores de los demás personajes que dependían de él.

Pare resolver esta ecuación irracional, tenemos que aislar la raíz en un miembro de la ecuación, pasando todo lo demás al segundo miembro y, después de haber operado para simplificarlo todo un poco, elevamos al cuadrado en ambos miembros de la ecuación de manera que así desaparece la raíz.

 

Lo sé, ya no tenemos la raíz, pero ahora tenemos una ecuación de sexto grado. Ya os dije que se iba a complicar un poco todo esto.

A partir de aquí me vais a permitir que abrevie en la resolución de esta ecuación, en la que tendríamos que factorizar e ir obteniendo las distintas soluciones.

Pues bien, de las seis posibles soluciones que tendría esta ecuación, solo tres de ellas verifican la ecuación irracional de partida, y las otras no son válidas. Las tres soluciones que obtenemos son:

Llegados a este punto, se abrirían tres caminos diferentes a seguir para ir obteniendo el resto de incógnitas (nuestros personajes de Star Wars).

Sin embargo, y os ahorro esa parte que ya la he hecho yo, con las dos primeras soluciones nos encontramos en el proceso que vamos a seguir ahora con que llegamos a una ecuación sin solución, es decir, no podríamos cumplir todas las ecuaciones.

Por lo tanto, la única solución que nos vale para nuestro problema es la tercera que había remarcado en rojo.

Ahora que sabemos ya el valor de Darth Vader, podemos calcular el valor de Chewbacca, C-3PO y la Princesa Leia:

Tenemos ya 5 de las 7 incógnitas (personajes) calculadas. Nos faltan R2-D2 y Yoda, que aparecen en las ecuaciones 5 y 6.

Así que nos vamos a ir a la ECUACIÓN 6:

Sustituimos C-3PO y Chewbacca por sus valores, y despejamos Yoda para tener la expresión de Yoda en función de R2-D2.

Ahora, sustituimos Yoda por esta expresión y Leia por su valor en la ECUACIÓN 5, obteniendo una ecuación irracional donde la única incógnita es R2-D2:

La única solución real de dicha ecuación irracional (os ahorro la resolución de la misma, que consistiría en elevar al cubo en ambos miembros y después resolver la ecuación polinómica de grado tres resultante, comprobando cuáles de las soluciones obtenidas cumplen la ecuación racional) es:

Sustituyendo ahora este valor en la expresión de Yoda en función de R2-D2, calculamos el valor de Yoda.

Ahora sí, ya tenemos los valores de los 7 personajes. Os los resumo:

Y, sustituyéndolos en la expresión final que se pide calcular, se tiene finalmente:

Así que 6 es la solución de nuestro problema.


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6 comentarios en “Solución de Star Maths 2… un buen reto de ecuaciones.”

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