El problema de los cuatro cuatros…

El problema de los cuatro cuatros es uno de los problemas enunciados en el libro El hombre que calculaba (de Malba Tahan).

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El origen del problema se da en una conversación entre Beremiz (el hombre que calculaba) y su acompañante, al ver una tienda en la que todo se vendía a cuatro dinares. El fragmento del libro dice así:

 

“Al ver a Beremiz interesado en comprar el turbante azul, le dije:

-Me parece una locura ese lujo. Tenemos poco dinero, y aún no pagamos la hostería.
-No es el turbante lo que interesa, respondió Beremiz. Fíjate en que esta tienda se llama “Los cuatro cuatros”. Es una coincidencia digna de la mayor atención.
-¿Coincidencia? ¿Por qué?

-La inscripción de ese cartel recuerda una de las maravillas del Cálculo: empleando cuatro cuatros podemos formar un número cualquiera…

Y antes de que le interrogara sobre aquel enigma, Beremiz explicó mientras escribía en la arena fina que cubría el suelo:

-¿Quieres formar el cero? Pues nada más sencillo. Basta escribir:

44 – 44 

Ahí tienes los cuatro cuatros formando una expresión que es igual a cero.

Pasemos al número 1. Esta es la forma más cómoda

 44
—-

 44 

Esta fracción representa el cociente de la división de 44 por 44. Y este cociente es 1. ¿Quieres ahora el número 2? Se pueden utilizar fácilmente los cuatro cuatros y escribir: 

 4     4
— + —

 4     4

La suma de las dos fracciones es exactamente igual a 2. El tres es más difícil. Basta escribir la expresión:

4 + 4 + 4
——–

      4

Fíjate en que la suma es doce; dividida por cuatro da un cociente de 3. Así pues, el tres también se forma con cuatro cuatros.

-¿Y cómo vas a formar el número 4? –le pregunté-.

-Nada más sencillo –explicó Beremiz-; el 4 puede formarse de varias maneras diferentes. He ahí una expresión equivalente a 4. 

4 – 4 
—- + 4

   4

Observa que el segundo término 

4 – 4 
—–

   4

es nulo y que la suma es igual a 4. La expresión escrita equivale a:

4 + 0, o sea 4.

Me di cuenta de que el mercader sirio escuchaba atento, sin perder palabra, la explicación de Beremiz, como si le interesaran mucho aquellas expresiones aritméticas formadas por cuatro cuatros.

Beremiz prosiguió:
-Quiero formar por ejemplo el número 5. No hay dificultad.

Escribiremos: 

 4 x 4 + 4
———

       4 

Esta fracción expresa la división de 20 por 4. Y el cociente es 5. De este modo tenemos el 5 escrito con cuatro cuatros.

Pasemos ahora al 6, que presenta una forma muy elegante: 

 4 + 4
—— + 4

    4

Una pequeña alteración en este interesante conjunto lleva al resultado 7.

44
— – 4

 4

Es muy sencilla la forma que puede adoptarse para el número 8 escrito con cuatro cuatros:

4 + 4 + 4 – 4

El número 9 también es interesante:

              4
4 + 4 + —

              4

Y ahora te mostraré una expresión muy bella, igual a 10, formada con cuatro cuatros:

44 – 4
—— …”

    4

El problema consiste, por tanto, en encontrar la forma matemática para representar cualquier número, usando para ello sólo cuatro cuatros, y a lo sumo, algunos símbolos no literales para las operaciones básicas. Beremiz, como hemos visto, da algunos ejemplos para algunos de los números más conocidos, como el cero y los números del uno al diez.

Utilizando cuatro cuatros y todas las operaciones que conozcas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación) además del uso de paréntesis, intenta escribir todos los números que puedas del 0 al 100, ambos inclusive.

 

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17 comentarios en “El problema de los cuatro cuatros…

    • Muchas gracias Marcos, aunque yo sólo lo estoy compartiendo. El mérito hay que atribuírselo a Malba Tahan, el autor del libro El hombre que calculaba.
      Es un buen ejercicio para pensar el que se plantea.

      Un saludo y gracias por el comentario.

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