Los números también pueden ser… ¡amigos!

¿Números amigos?

Números amigos

¡Ni que fueran personas!

Pues sí, como ocurre con las personas, hay números que tienen una cierta afinidad. Vamos a ver en qué consiste esa relación de amistad.

Dos números amigos son dos números enteros positivos a y b tales que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo es el par de números naturales (220, 284), ya que:

  • los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284;
  • los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Números amigos

Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe entonces el nombre de número perfecto (por ejemplo el 6, pues sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3).

Ya en la Grecia antigua, los pitagóricos observaron esta relación que hemos visto entre los números 220 y 284 y los llamaron ya entonces números amigos. Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas.

En el mundo árabe, los números amigos han tenido un rol significativo en la matemática islámica. Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos. Así si:

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donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos (números enteros mayores que 1 que tienen únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1), entonces se cumple que:

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son un par de números amigos.

Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17 296, 18 416) y (9 363 584, 9 437 056).

Thabit ibn Qurra

Thabit ibn Qurra

Una nueva prueba del teorema de Thabit ibn Qurra fue suministrada a finales del siglo XIII por al-Farisi (1260), quien introdujo importantes nuevas ideas en los campos de la factorización y de los métodos combinatorios.

También señaló el par de números amigos 17 296 – 18 416; Este descubrimiento ha sido atribuido a Leonhard Euler (siglo XVIII), pero se sabe ahora que eran conocidos cinco siglos antes por al-Farisi, y quizás incluso antes por el propio Thabit ibn Qurra.

Vale la pena hacer notar que en el siglo XVII Muhammad Baqir Yazdi encontró el par 9 363 584 – 9 437 056, todavía muchos años antes del aporte de Euler.

En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 284 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.

En occidente, durante muchos siglos, 220 y 284 fueron la única pareja de números amigos conocidos, hasta que en 1636 Euler redescubrió (pues como ya he dicho, en el mundo árabe al Farisi ya lo había descubierto) que 17 296 y 18 416 también lo son.

En 1638 Descartes, colega y competidor de Fermat, encontró la tercera pareja: 9 363 584 y 9 437 056.

Como hemos visto, grandes matemáticos han dedicado a lo largo de la historia mucho tiempo a estudiar estos números con una relación de amistad tan peculiar, entre ellos Maslama al-Mayriti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), Pierre de Fermat (1601-1665), René Descartes (1596-1650), a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler.

Por último, os pongo una tabla donde se muestran las parejas de números amigos desde 1 hasta 20.000.000.

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¡El que se aburra que lo compruebe si quiere!

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4 comentarios en “Los números también pueden ser… ¡amigos!

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