Polígono de perímetro infinito y área finita… ¡en una hoja!

Imagina que tienes un cuadrado de lado l cualquiera.

27 01

su área y su perímetro son:

27 01b27 01c

Si ahora quieres obtener una figura que tenga más perímetro pero el mismo área…

… puedes, por ejemplo, dibujar un rectángulo de base 2l y altura l/2:

27 02

y su área y perímetro serán:

27 02b27 02c

Puedes hacer algo parecido otra vez, para conseguir así otra figura de igual área y perímetro aún mayor que la anterior:

27 06

27 06b27 06c

Y otra vez más:

27 03

27 03b27 03c

Como puedes observar, el área es siempre la misma y, sin embargo, el perímetro va aumentando.

Esto puedes hacerlo n veces, llegando así a un rectángulo de base n·l y altura l/n, de área y perímetro:

27 04b27 04c

Si haces tender n a infinito, es decir, consideras un rectángulo de base infinitamente larga y altura casi cero (es inversamente proporcional a la base), seguirá teniendo el mismo área, y su perímetro tenderá a infinito.

27 05c

No está nada mal, has conseguido mantener el mismo área que tenía el cuadrado con un polígono de perímetro… ¡infinito! (de acuerdo que es un abuso de lenguaje, en realidad es infinito en el límite).

Ahora, imagina que tienes que conseguir lo mismo, es decir, un polígono de perímetro infinito que tenga un área finita… pero sin salirte del espacio de una hoja.

Está claro que lo del rectángulo ya no te vale, porque de momento te sales de la hoja.

¿Se puede dibujar un polígono de perímetro infinito y área finita y que, además, esté contenido en una hoja?

Si le damos vueltas a la pregunta, hay una cosa que podemos sacar como condición básica para poder encontrar un polígono de estas características que no se nos salga de la hoja, y es que no puede ser un polígono convexo; si intentamos imaginar cualquier polígono convexo que se nos ocurra aumentando su perímetro (triángulo, cuadrado, rectángulo…), llega un momento que se nos va a salir de los límites que tenemos, como hemos visto con el ejemplo del rectángulo.

Así que nuestro polígono tiene que ser cóncavo. Simplemente recordar que un polígono cóncavo es aquél en el que al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180 grados.

Ejemplo de polígono cóncavo
Ejemplo de polígono cóncavo

Pues bien, la solución a este “acertijo” ya está inventada. En 1904, el matemático sueco Helge von Koch la describió en un artículo titulado “Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental“. Esta curva cerrada continua se conoce como copo de nieve de Koch o estrella de Koch.

En lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal. Su construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero en el que finalmente cada uno de sus lados queda sustituido por lo que se llama una curva de Koch.

Y ¿en qué consiste una curva de Koch?

Vamos a ver el proceso que lleva a sustituir cada lado por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se divide en tres partes iguales, y se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud formando un ángulo de 60 grados.

Von_koch_1

Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración.

Von_koch_2

Se vuelve a hacer lo mismo con cada uno de los 16 segmentos obtenidos:

Von_koch_3

Otra vez más:

Von_koch_4

Y otra vez (quinta etapa):

Von_koch_5

Con esta quinta etapa ya se obtiene una buena aproximación de cómo se ve la curva final.

Y así sucesivamente.

Ahora que ya sabemos cómo es una curva de Koch, nos vamos a ese triángulo equilátero del que hablábamos y vemos nuestro copo de nieve de Koch o estrella de Koch:

Von_Koch_curve

Y si hacemos zoom contínuamente sobre una parte de la figura, observamos que se repite una y otra vez la misma estructura… hasta el infinito.

Kochsim

Así es que, éste es nuestro polígono de área finita (en el límite) y perímetro infinito que, como vemos, no se sale de la hoja.

Y además… ¡tiene todos sus lados iguales!

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4 comentarios en “Polígono de perímetro infinito y área finita… ¡en una hoja!

  1. Excelente demostración del rectángulo, no lo había pensado, siendo la misma área, y que el perímetro tienda al infinito, habría que visualizarlo o calcularlo de otra manera, pues siendo que el área no cambia, el perímetro se extienda hasta el infinito, geométricamente no es congruente!

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  3. ¿Sabes lo cojonudo? La ignoracia que me abunda en la cabeza, es que ya el primer ejemplo me resultó curioso, quizá por no haberlo pensado nunca, pero si me proponen una apuesta de un cuadrilátero cualquiera mantiene el mismo área cambiando el perímetro pierdo el piso.
    ¿Vas a dar la solución a lo de los cuadrados?
    Saludos.

    • Me alegra que sirva para darse cuenta de cosas que antes no se habían pensado y para aprender, que siempre se aprende algo nuevo. De estas cosas pondré más, porque me gustan mucho.
      La solución de los cuadrados la pondré pronto, estaba dando tiempo.
      Gracias por seguir el blog.

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