Solución de «Multiplicando los números de dos cifras… ceros»

El problema propuesto es el siguiente:


Veamos la SOLUCIÓN…

solucioncerosPara que se vea mejor, voy a resolver primero un caso más sencillo, y después resolvemos el caso concreto que planteé.

Vamos a ver, por ejemplo, cuántos ceros seguidos tiene al final el resultado de multiplicar los seis primeros números enteros positivos de dos cifras

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15

Obviamente, se trata de averiguarlo sin tener que realizar la multiplicación completa.

Lo primero que debemos plantearnos es:

¿De qué depende el número de ceros seguidos que pueden aparecer al final de un número?

Pues parece bastante intuitivo que depende de las veces que hayamos multiplicado por 10 en la obtención del número o, dicho de otra manera, de las veces que pueda aparecer el 10 en la descomposición del número en factores.

Así, por ejemplo, si se ha multiplicado dos veces por 10 el número tendrá dos ceros al final, o si se ha multiplicado cuatro veces por 10, el número tendrá cuatro ceros al final.

Observando los números que estamos multiplicando

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15

podemos pensar que se ha multiplicado una vez por 10 y que el resultado final tendrá sólo un cero al final, pero eso no es cierto.

Para ver realmente cuántas veces aparece el 10 en la descomposición en factores, tenemos que realizar la descomposición en factores primos de cada uno de los números que estamos multiplicando. Y ahora veremos por qué lo hacemos.

10 = 2 · 5

11 = 11 (es un número primo)

12 = 2 · 2 · 3

13 = 13 (es un número primo)

14 = 2 · 7

15 = 3 · 5

Con lo que tendríamos:

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 = 2 · 5 · 11 · 2 · 2 · 3 · 13 · 2 · 7 · 3 · 5

Ahora debemos darnos cuenta de que 10 es el resultado de multiplicar 2 por 5

10 = 2 · 5

O, lo que es lo mismo, estamos multiplicando por 10 cuando multiplicamos por 2 y por 5.

Tenemos que buscar por tanto «parejas de 2 y 5» entre los factores…

solucionceros_01

Así que, en este caso, estamos multiplicando dos veces por diez y, en consecuencia, el número resultante de la multiplicación  10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15  tendrá dos ceros seguidos al final.

Ahora vamos al caso que planteaba de multiplicar todos los números enteros positivos de dos cifras

10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · … · 95 · 96 · 97 · 98 · 99

Como hemos visto en el ejemplo anterior, debemos buscar parejas de 2 y 5. Pero si os fijáis bien, a parte de eso, el número de parejas de 2 y 5 está condicionado por el número de cincos que haya, porque doses hay bastantes más (como mínimo uno por cada número par que estamos multiplicando… aunque hay bastantes más).

Así que en realidad no necesitamos descomponer cada número de dos cifras en factores primos, como hemos hecho en el ejemplo anterior para que se viese bien, y nos es suficiente con buscar los números que sean múltiplos de cinco (que acaben en 0 ó en 5), pues tendrán al cinco entre sus factores primos.

En nuestro caso, múltiplos de cinco son:

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95

es decir, 18 números.

Ahora bien, hay que tener en cuenta que de estos 18 números, además, el 25, el 50 y el 75 (múltiplos de 25) tienen dos cincos entre sus factores primos…

25 = 5 · 5

50 = 2 · 5 · 5

75 = 3 · 5 · 5

… por lo que debemos añadir 3 cincos más a los 18 que teníamos, resultando en total 21 cincos entre los factores que estamos multiplicando y, al haber más de 21 doses, también hay 21 parejas de 2 y 5 y, en consecuencia, multiplicamos 21 veces por diez.

Podemos entonces concluir, respondiendo a la pregunta del problema, que el resultado de multiplicar todos los números enteros positivos de dos cifras tiene 21 ceros seguidos al final.

Y todo esto sin realizar la multiplicación.

Por cierto, que si no te fías de mí, el resultado de multiplicar todos los números naturales de dos cifras (desde el 10 hasta el 99, ambos incluídos) es:

2.571.820.310.955.251.121.078.572.499.345.973.889.184.192.247.144.555.265.338.209.983.884.964.726.444.827.921.322.240.519.625.124.511.856.638.500.904.630.284.343.341.744.128.000.000.000.000.000.000.000

que, como ya sabíamos tiene 21 ceros seguidos al final.


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40 comentarios en «Solución de «Multiplicando los números de dos cifras… ceros»»

  1. Tengo un problema de examen de admisión. ¿Cuántas veces hay que multiplicar a 15 por sí mismo para que el producto tenga 36 divisores?
    Gracias de antemano por su ayuda; la verdad acabo de encontrar su página y está genial, Felicitaciones! 🙂

    Responder
    • Si descompones en factores primos tienes que 15=3×5.

      Por otro lado el número de divisores de un número se puede obtener a partir de su descomposición en factores primos a partir de los exponentes de sus factores primos como el producto de dichos exponentes sumando previamente una unidad a cada uno.

      Sabiendo eso, si queremos que tenga 36 divisores, necesitamos que ese producto sea 6×6, y por lo tanto los exponentes sean 5 cada uno.

      Luego hay que multiplicarlo 5 veces por sí mismo:
      15⁵=3⁵×5⁵

      Responder
        • El valor máximo de cada dígito es 9; y para sumar 27, la opción de menos dígitos son tres dígitos de valor 9. Solo falta comprobar que sea divisible entre 7, o.bien dividiendo entre 27 y comprobando que el resto es cero, o lo que hice yo: se sabe directamente que es divisible entre 9, y 111 también es divisible entre 3, por lo que 999 es divisible entre 27.

          Responder
  2. Profesor
    Es una pregunta
    Cuántos números de 2 cifras, distintas de cero, son mayores que el triple del número que resulta de cambiar la posición de sus cifras?

    Responder
  3. Que dos números sumados me den 8 y que otros dos al restarlos me de 6 y que uno de arriba con el de abajo al sumar me de 13 y los otros dos de igual forma me de 8 💭 + 💭 =8 + + 💭 – 💭=6 = = 13 8

    Responder
    • ¿Ceros seguidos al final del número o ceros en cualquier posición?
      Si es ceros seguidos al final, siguiendo la lógica que expongo en la publicación, tendrías que añadir a los 21 ceros un cero más por el 5 y otros dos ceros por el 100, es decir, serían 24 ceros seguidos al final.
      Un saludo.

      Responder
  4. Hola buenas noches, tengo un problema que no entiendo:
    El producto de cien numero enteros positivos es 100. ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de esos números?

    Responder
    • Primero busca los menores números con los que obtienes 100 multiplicándolos, es decir la descomposición de 100 en factores primos: 2•2•5•5 (cuatro números que suman 14), y considera los 96 números restantes como unos.

      2, 2, 5, 5 y 96 unos multiplicados dan 100 y sumados 110.

      Cualquier otra opción con divisores de 100 da una suma mayor.

      Saludos.

      Responder
  5. Ayuda. Necesito saber si la frase “se redujo 5 veces el consumo de alcohol” es correcta. Esto es en cuanto a 100 era el consumo y se redujo a 20. Es igual a reducir un 80%?

    Responder
    • Yo hibiese dicho mejor «se redujo a una quinta parte el consumo de alcohol», porque decir «se redujo 5 veces» no especifica cuánto se redujo, y más bien está diciendo solo que se ha reducido en 5 ocasiones.
      Efectivamente pasar de 100 a 20 es reducir un 80%.
      Saludos.

      Responder
  6. ¡Ayuda por favor!
    Halla el número natural que cumple con los siguientes requisitos
    Tiene 4 dígitos
    No se repite ninguno
    Es mayor que 2000 pero menor que 3000
    Es divisible entre 5
    No contiene ningún 0
    Es el menor que cumple con los requisitos anteriores.

    Ojalá puedan ayudarme.

    Responder
    • Si es mayor que 2000 y menor que 3000, su primera cifra es un 2: 2XXX;
      Si no contiene ningún 0 y es divisible entre 5, necesariamente tiene que terminar en 5 (no puede terminar en 0): 2XX5;
      Como buscamos el menor número que cumpla con todo esto y no puede tener ceros ni dígitos repetidos (no puede tener dos 1, ni tampoco algún 2 más pues ya tiene uno), nuestro número es: 2135.
      Saludos.

      Responder
  7. Al multipliar 100 X 101 X … X 124 X 125 ¿Cuántos ceros se obtienen al final de resultado? Seguí tu procedimiento y me da 9. Por favor, me puedes confirmar el resultado?

    100 = 5 X 5 X 4
    105= 5 X 21
    110 = 5 X 22
    115 = 5 X 23
    120 = 5 X 24
    125 = 5 X 5 X 5

    Saludos

    Responder
    • Hola Alejandro. Si solo se multiplican los números pares que hay del 1 al 101 tienes que fijarte primero en cuáles de ellos son múltiplos de 5: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100, que te darían 10 ceros seguidos al final. Además debes tener en cuenta que el 50 y el 100 tienen dos cincos en su descomposición en factores y, por eso, añaden cada uno un cero adicional al final.
      En total serían 12 ceros seguidos al final.
      Saludos.

      Responder
  8. Quiero comprar una playera de $97 No tengo dinero así que le pido a mi madre $50 Y a mi padre $50 entonces $50 + $50 = $100 compro la playera y me dan $3 peso de cambio le doy a mi madre $1 le doy a mi padre $1 Y me quedo con $1ahora le debo a mi padre $49 pesos y a mi madre $49 pesos entonces 49 + 49 =98 más mi $1 peso = 99 peso 99? Donde quedo el otro peso

    Responder
    • Hola Daniela. Tiene muy poco que ver con la entrada, pero como es un clásico de esos que pretenden confundir a la gente en lugar de aclararle las ideas y ayudarla, explico la respuesta porque precísamente este blog busca lo contrario:

      La clave está en diferenciar bien deuda de lo que no es deuda. Nada más comprar la playera tu deuda es de $50 + $50 = $100 y tienes $3 (que no te has gastado del dinero que te prestaron). Al devolver $1 a cada uno de tus padres, tu deuda se reduce a $49 + $49 = $98.
      Hasta ahí todo correcto.
      Pues bien, con ese $1 que tienes puedes hacer dos cosas: quedártelo y que tu deuda total siga siendo de $98 ó devolverselo también a tus padres (como has hecho con los otros $2) y que tu deuda se reduzca a $97.
      Lo que no se puede hacer (que es lo que se hace en el texto para crear la confusión) es sumar a una cantidad que es deuda ($97) otra que no es deuda ($1), en cualquier caso habría que restarlo (como he explicado antes) y seguir hablando de deuda.
      Lo único que suma $100 (porque sí se pueden sumar) son o bien los $50 + $50 que te prestan tus padres antes de comprar la playera, o bien los $97 que te ha costado la playera más los $3 que te han devuelto.

      Saludos ?.

      Responder
  9. Campina Grande-Paraiba-Brazil, 17 de abril de 2016

    Olá Amadeo Artacho:

    Outra maneira que encontrei para saber em quantos zeros termina o produto de todos os naturais de dois algarismos foi a seguinte;

    Primeiro: encontrar em quantos zeros termina 99! (o fatorial de 99)
    Basta fazer: 99/5 = 19; 19/5 = 3, como 3 < 5 termina a divisão. Somando os quocientes, obtém-se: 19 + 3 = 22 (o fatorial de 99 termina em 22 zeros). Como 99! = 99.98.99. … .10.9.8.7.67.5.4.3.2.1
    O produto: 9.8.7.6.5.4.3.2.1 termina em um zero, logo, 22 zeros – 1 zero = 21 zeros.
    Portanto o produto: 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · … · 95 · 96 · 97 · 98 · 99 termina em 21 zeros.

    Responder
  10. No habría que tener en cuenta también todas las veces que sale en las factorizaciones el 2?? Ya que cinco factores del 2 también añaden un cero.

    Responder
    • Hola Pepe. Lo primero gracias por aportar comentando.
      No es cierto lo que comentas, ya que cinco factores del 2 no añaden un cero, pues sería:
      2×2×2×2×2 = 32
      Creo que lo has confundido con cinco veces 2 (que son sumas, no productos):
      2+2+2+2+2 = 5×2 = 10
      No obstante me alegra que se cuestionen las cosas, aunque esta vez no haya sido correcta la apreciación. Eso es algo muy bueno.

      Espero haber aclararado tu duda.

      Un saludo y gracias de nuevo Pepe.

      Responder
      • Profesor,

        Caí en esta duda y decidí corroborar usando una hoja de cálculo (Excel) para conocer el resultado de la multiplicación del 1 al 99, sin embargo, ésta no coincide con la respuesta que usted nos da. Espero pueda ayudarme a entender mejor.

        Responder
        • Hola Alfonso, lo que yo he hecho es el producto de los números de dos cifras, es decir, del 10 al 99, y no del 1 al 99 como planteas tú. A la solución que yo doy tienes que añadirle el cero adicional que te aportaría el 5.
          Saludos.

          Responder
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