Divisores de un número

Un número es divisor de otro si la división del segundo entre el primero es exacta.

Así, por ejemplo, es divisor de 21 porque al dividir 21 entre 3 la división sale exacta, es decir con resto igual a cero.

Pero, ¿cuál es en sí la idea o concepto de divisor de un número? ¿Cómo se puede calcular el número de divisores que tiene un número? ¿Cómo se calculan dichos divisores?

Te explico todo esto en el siguiente vídeo:

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Múltiplos de un número

Un número es múltiplo de otro si es el resultado de multiplicar el segundo por algún número natural.

Así, por ejemplo, 45 es múltiplo de 5, ya que 45 = 5 · 9.

Pero, ¿cuál es en sí la idea o concepto de múltiplo de un número? ¿Cómo se calculan los múltiplos de un número? ¿Cuántos múltiplos puede tener un número? ¿Cómo podemos comprobar de forma rápida si un número es múltiplo de otro?

Te explico todo esto en el siguiente vídeo:

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Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes que tienen dichos números.

Por ejemplo, el Mínimo Común Múltiplo de 14 y 21 es el menor de los múltiplos que tienen ambos números en común.

Primeros múltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126…

Primeros múltiplos de 21: 21, 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168…

Como se puede observar, de los múltiplos que tienen en común ambos números (42, 84, 126…), el menor de ellos es 42. Por lo tanto:

m.c.m. (14 , 21) = 42

El Mínimo Común Múltiplo de varios números se necesita en muchas ocasiones para resolver problemas, para poder sumar y restar fracciones con distinto denominador, para reducir a índice común varias raíces, y para más situaciones, por lo que es muy importante saber calcularlo bien.

A la hora de calcularlo, en lugar de tener que calcular previamente múltiplos de los números como hemos visto en el ejemplo anterior (podría ocurrir que tuviésemos que calcular bastantes múltiplos hasta llegar al primer múltiplo común), es mucho más útil hacerlo a partir de la descomposición en factores primos de dichos números.

En el siguiente vídeo explico qué es el Mínimo Común Múltiplo y cómo se calcula a partir de la descomposición en factores primos:

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Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes que tienen dichos números.

Por ejemplo, el Máximo Común Divisor de 24 y 36 es el mayor de los divisores que tienen ambos números en común.

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Como se puede observar, de los divisores que tienen en común ambos números (1, 2, 3, 4, 6 y 12), el mayor de ellos es 12. Por lo tanto:

M.C.D. (24 , 36) = 12

El Máximo Común Divisor de varios números se necesita en muchas ocasiones para resolver problemas, para extraer factor común en una expresión, para simplificar fracciones en un solo paso, y para más situaciones, por lo que es muy importante saber calcularlo bien.

A la hora de calcularlo, en lugar de tener que calcular previamente todos los divisores de los números como hemos visto en el ejemplo anterior, es mucho más útil hacerlo a partir de la descomposición en factores primos de dichos números.

En el siguiente vídeo explico qué es el Máximo Común Divisor y cómo se calcula a partir de la descomposición en factores primos:

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Descomposición en factores primos de un número

La descomposición de un número en factores primos, también llamada descomposición factorial, consiste en descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos.

Por ejemplo, 60 descompuesto en factores primos sería:

60 = 22 · 3 · 5

La descomposición en factores primos se utiliza para muchas cosas, entre otras: para simplificar expresiones numéricas, para hacer operaciones con potencias, para extraer factores de una raíz y, muy importante, para el cálculo del Máximo Común Divisor (M.C.D.) y el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de varios números.

En el siguiente vídeo explico en qué consiste la descomposición en factores primos con más detalle, para qué se utiliza y, principalmente, cómo se hace:

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Resumen de… Máximo Común Divisor (M.C.D.)

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Resumen de… Descomposición en factores primos

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Criterios de divisibilidad

En esta entrada vamos a hablar primero del concepto de divisibilidad, es decir, qué quiere decir que un número sea divisible entre otro, y después vamos a ir viendo los distintos criterios o reglas de divisibilidad que podemos utilizar para saber si un número es divisible entre otro.

Como son muchos los criterios de divisibilidad que os voy a enseñar aquí, bastantes más de los que suelen aparecer en los libros de texto y otras páginas web, podéis acceder directamente al que os interese seleccionándolo en el siguiente índice de contenidos:

Concepto de divisibilidad.

Criterio de divisibilidad del 1.

Criterio de divisibilidad del 2.

Criterio de divisibilidad del 3.

Criterio de divisibilidad del 4.

Criterio de divisibilidad del 5.

Criterio de divisibilidad del 6.

Criterio de divisibilidad del 7.

Criterio de divisibilidad del 8.

Criterio de divisibilidad del 9.

Criterio de divisibilidad del 10.

Criterio de divisibilidad del 11.

Criterio de divisibilidad del 12.

Criterio de divisibilidad del 13.

Criterio de divisibilidad del 14.

Criterio de divisibilidad del 15.

Criterio de divisibilidad del 17.

Criterio de divisibilidad del 18.

Criterio de divisibilidad del 19.

Criterio de divisibilidad del 20.

Criterio de divisibilidad del 23.

Criterio de divisibilidad del 25.

Criterio de divisibilidad del 29.

Criterio de divisibilidad del 31.

Criterio de divisibilidad del 100.

Criterio de divisibilidad del 125.

Un par de propiedades muy útiles.



Divisibilidad

Que un número sea divisible entre otro quiere decir, en un lenguaje sencillo, que al dividir (división euclídea) el primero entre el segundo se obtiene de resto cero, es decir, que la división es exacta (sin decimales).

Expresado en un lenguaje más formal:

Un número entero b es divisible entre otro entero a (no nulo) si existe un entero c tal que:

b = a ⋅ c

Esto es equivalente a decir que el resto de la división euclídea es cero o simbólicamente que:

b − a ⋅ c = 0

Se suele expresar de la forma a ∣ b , que se lee: «a divide a b«, o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a«.

Por ejemplo, 12 es divisible entre 3, ya que 12 = 3·4; pero 12 no es divisible entre 5, pues no existe un entero c tal que 12 = 5·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 12 entre 5 no es cero.

Imaginemos, por ejemplo, que tenemos una pizza de 8 porciones.

Si somos 4 comensales, se trata de ver si tocamos a un número entero de porciones cada persona y que no sobre ninguna porción (que 8 sea divisible entre 4) o si, por el contrario, sobra alguna o algunas de las porciones y hay que partirla o partirlas en trozos más pequeños para que todos comamos lo mismo y no quede nada (que 8 no sea divisible entre 4).

En el caso de 8 porciones de pizza y 4 comensales, cada comensal tocaría a 2 porciones, y no sobraría ninguna. Si dividimos 8 entre 4 obtenemos de cociente 2 y de resto 0. Es decir, 8 es divisible entre 4.

8 porciones de pizza repartidas entre 4 comensales. Tocan a 2 porciones y no sobra ninguna.

Si tuviésemos 8 porciones de pizza y 3 comensales, para saber si cada comensal toca a un número de porciones exacto sin que sobre ninguna, tendríamos que ver si 8 es divisible entre 3.

En este caso la división no saldría exacta, por lo que 8 no sería divisible entre 3. Traducido a nuestras porciones de pizza, cada comensal tocaría a 2 porciones enteras (el cociente de la división de 8 entre 3), pero sobrarían otras dos porciones (el resto de la división de 8 entre 3) que habría que partirlas en trozos menores para poder repartirlas a partes iguales entre los 3 comensales.

8 porciones de pizza repartidas entre 3 comensales. Tocan a 2 porciones y sobran otras 2 porciones.

Nota: se puede decir tanto «divisible entre» como «divisible por». Lo encontraréis expresado de ambas formas en muchos sitios

Ver si un número es divisible entre otro cuando los números son pequeños es relativamente sencillo. Sin embargo, cuando tenemos números más grandes resulta algo más complicado.

Para facilitar esta labor surgen los criterios o reglas de divisibilidad.


Criterios o reglas de divisibilidad

Los criterios o reglas de divisibilidad son unas «reglas» que empleamos para saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de tener que realizar la división.

Son de gran utilidad ya que, por ejemplo, nos ayudan a encontrar con facilidad los divisores de un número, nos sirven especialmente cuando tenemos que descomponer números en factores primos, o para saber si un número es primo o compuesto, para simplificar fracciones, etc.

A continuación vamos a ir viendo los criterios de divisibilidad más utilizados, y otros que probablemente no encontraréis un los libros de texto.

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Docenas de huevos… ¿Por qué no decenas?

Al margen de cuestiones culturales, la docena ha sido durante mucho tiempo uno de los sistemas de medida habituales.

El uso más antiguo conocido del sistema duodecimal se remonta hasta los astrónomos de Mesopotamia, y aún se sigue utilizando al dividir el año en doce meses, y el día en doce horas diurnas y doce nocturnas…

… y, también,  para contar y vender huevos.

Desde luego, venderlos por peso, como se hace con otras muchas cosas, no parece ser muy práctico, fundamentalmente por la propia fragilidad de los huevos.

Yo no me imagino metiendo huevos a granel en una bolsa, cerrándola con un nudo y soltándola primero en la báscula para pesarlos y después en el carro de la compra… no sé cuántos huevos llegarían íntegros a mi casa.

Parece claro que lo mejor es venderlos por unidades y cuidando que no se puedan romper con facilidad.

Pero… ¿Por qué en docenas y no, por ejemplo, en decenas?

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Jugando con números XV… Un número muy particular… ¡y grande!

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