Solución del acertijo “Serie de dados VIII”

El acertijo propuesto es el siguiente:

¿Qué números habrá debajo de las pegatinas del logo del blog en el último dado?

Se trata de encontrar el razonamiento que se ha seguido para obtener los tres números que hay en cada uno de los dados en el orden en que aparecen y, conocido éste, poder deducir qué números habrá debajo de las pegatinas en el último dado.

La regla lógica que se utilice tiene que ser la misma para todos los dados.

¿Lo has intentado ya?

¿Qué números crees que son?

Si estás intentándolo o no lo has hecho aún, no sigas leyendo y piénsalo.

Si ya lo has hecho y quieres comprobar la solución… sigue leyendo.

Vamos con ello…

 Lo primero y más sencillo es deducir los dos números de la parte inferior de cada dado que, observando los de los cuatro primeros dados…

Primer dado:  1 y 3

Segundo dado:  3 y 5

Tercer dado:  5 y 7

Cuarto dado:  7 y 9

parece evidente que serán…

en el quinto dado:  9 y 11

en el sexto dado:  11 y 13

No obstante, vamos a intentar buscar una expresión general que nos permita obtener los dos números inferiores de cada dado.

Si nos fijamos…

En el primer dado, el número de la izquierda es 1=2-1 y el de la derecha es 3=2+1. Y 2 es el doble de la posición que ocupa el dado;

En el segundo dado, el número de la izquierda es 3=4-1 y el de la derecha es 5=4+1; Y 4 es el doble de la posición que ocupa el dado;

En el tercer dado, el número de la izquierda es 5=6-1 y el de la derecha es 7=6+1; Y 6 es el doble de la posición que ocupa el dado;

En el cuarto dado, el número de la izquierda es 7=8-1 y el de la derecha es 9=8+1; Y 8 es el doble de la posición que ocupa el dado.

Es decir, si llamamos n a la posición que ocupa el dado, podemos generalizar diciendo que:

número izquierda = 2n – 1

número derecha = 2n + 1

Y comprobamos que efectivamente se obtienen los números que habíamos deducido a simple vista para los dados quinto y sexto:

Para n=5

número izquierda = 2·5 – 1 = 10 – 1 = 9

número derecha = 2·5 + 1 = 10 + 1 = 11

y, para n=6

número izquierda = 2·6 – 1 = 12 – 1 = 11

número derecha = 2·6 + 1 = 12 + 1 = 13

Hemos conseguido, por tanto, dos expresiones que nos permiten saber los dos números inferiores de cualquier dado simplemente sabiendo la posición que ocupa (n).

Bien, pues vamos ahora con el número que está en la parte superior del dado.

Aquí sí que entra ya en juego un poco nuestra intuición y probar un poco, pero ayudados de la lógica.

Podemos probar sumando los dos números de la parte inferior, pero en el primer dado nos pasamos y en el resto de dados nos quedamos cortos, cada vez más.

Aunque parezca que no hemos conseguido nada, analizándolo bien podemos sacar algunas conclusiones.

La primera es que, a parte de que la suma no nos vale, el hecho de que nos quedemos cortos “cada vez más” nos da a entender que al menos tendremos que hacer una operación con esos números cuyo resultado sea “cada vez mayor” en proporción a dichos números. Y eso lo podemos conseguir con la multiplicación.

La otra cosa es que si en el primer dado nos hemos pasado, parece lógico que en algún momento haya que restar también algo.

Vamos a probar…

En el primer dado:  1·3=3 (nos hemos pasado en 3 unidades, ya que 3-0=3);

En el segundo dado:  3·5=15 (nos hemos pasado en 5 unidades, ya que 15-10=5);

En el tercer dado:  5·7=35 (nos hemos pasado en 7 unidades, ya que 35-28=7);

En el cuarto dado:  7·9=63 (nos hemos pasado en 9 unidades, ya que 63-54=9).

¡Vaya!

¡Siempre lo que nos pasamos multiplicando los dos números es justo el número de la derecha del dado!

 Entonces, sí que tiene sentido lo de que hubiese que restar también algo, porque si multiplicamos ambos números y después restamos el de la derecha tenemos:

En el primer dado:  1·3-3 = 3-3 = 0;

En el segundo dado:  3·5-5 = 15-5 = 10;

En el tercer dado:  5·7-7 = 35-7 = 28;

En el cuarto dado:  7·9-9 = 63-9 = 54.

Y si lo hacemos con los dados quinto y sexto (los de las pegatinas)…

En el quinto dado: 9·11-11 = 99-11 = 88;

En el sexto dado: 11·13-13 = 143-13 = 130.

¡Ya tenemos nuestro último dado completo!

Pero para rematar todo esto bien, vamos a hacer con el número de la parte superior del dado lo mismo que hemos hecho para los dos números de la parte inferior.

Es decir, vamos a deducir una expresión general que nos permita obtenerlo simplemente conociendo la posición del dado.

Si como vimos…

número izquierda = 2n – 1

número derecha = 2n + 1

la operación que hemos dicho que hacemos de…

numero arriba = número izquierda x número derecha – número derecha

será…

número arriba = (2n-1)·(2n+1) – (2n+1) =

= 4n2+2n-2n-1-2n-1 =

= 4n2-2n-2

Y si queremos, podemos comprobar que efectivamente se cumple en todos los dados:

Primer dado (n=1): 4·12-2·1-2 = 4-2-2 = 0;

Segundo dado (n=2): 4·22-2·2-2 = 16-4-2 = 10;

Tercer dado (n=3): 4·32-2·3-2 = 36-6-2 = 28;

Cuarto dado (n=4): 4·42-2·4-2 = 64-8-2 = 54;

Quinto dado (n=5): 4·52-2·5-2 = 100-10-2 = 88;

Sexto dado (n=6): 4·62-2·6-2 = 144-12-2 = 130;

Perfecto.

Resumiendo, la solución del acertijo es:

y, expresado de forma general:

Espero que os haya gustado.

Por cierto, esta vez sí que ha acertado bastante gente, así que…

¡Enhorabuena!

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1 comentario en “Solución del acertijo “Serie de dados VIII”

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