Resolución de problemas, la heurística y el problema del burro y las zanahorias

Desde la más remota antigüedad, la actividad principal del matemático ha sido la resolución de problemas. Hasta hace relativamente poco tiempo no existía una denominación específica para una ciencia que se ocupe de los métodos de resolución de problemas; esta ciencia es la denominada heurística moderna.

La heurística (término proveniente del griego “heurisko”: hallar, descubrir) se consideró durante años “el arte de inventar“. Era una ciencia que tenía mucho que ver con la lógica, la psicología o la filosofía, aunque su significado ha evolucionado actualmente hacia la concepción moderna que he comentado.

Fijaos que ya he mencionado tres palabras que a mí personalmente me gustan mucho: “descubrir“, “inventar” y “lógica“, y que creo que son buena parte de la esencia de las matemáticas.

Podríamos decir que el razonamiento heurístico tiene como objetivo descubrir la solución de un problema; por lo tanto, no es definitivo y no tiene por qué ser riguroso, sino que simplemente es provisional y plausible y, por supuesto, no debe confundirse con una demostración matemática.

Pero ¿qué es un problema?

Una definición sencilla que a mí me gusta es la que dan Bransford y Stein, según los cuales un problema es un obstáculo que separa la situación actual de una meta deseada (1).

Pero yo no voy a adentrarme aquí en la heurística y en los distintos modelos de resolución de problemas, pues habrá personas que conozcan mucho más sobre el tema y seguro que lo pueden hacer infinitamente mejor que yo. Prefiero centrarme en algo que creo que se me da mejor, que es plantear un problema y ver cómo podemos resolverlo.

Y digo “podemos” porque me gustaría que lo hiciésemos juntos.

Sea cual sea el tipo de problema al que nos enfrentemos, sí parece claro que hay una serie de fases necesarias para resolverlo, y esto lo dejó bastante claro el matemático húngaro George Pólya en su libro “How to solve it(2): Comprender el problema, concebir un plan o estrategia, ejecutar el plan, y examinar la solución obtenida.

Aunque estas cuatro etapas se presentan teóricamente separadas, en el proceso de resolución de un problema se mezclan unas con otras. Por ejemplo, a la vez que se va entendiendo un enunciado van surgiendo ideas que iluminan el plan de resolución, y a la vez que vamos ejecutando nuestro plan descubrimos “cosas” que nos hacen modificarlo o mejorarlo.

Y esto es lo verdaderamente interesante y lo que nos va a pasar a nosotros.

¡De acuerdo, tenéis razón! No hago más que hablar de “problema” y aún no he planteado ninguno.

Vamos con él. El problema dice así…

“Tenemos que transportar con un burro 900 zanahorias a un mercado, que está a 300 km de distancia de donde nos encontramos.

burroyzanahoriasEl burro puede transportar como máximo 300 zanahorias y, además, necesita comer una zanahoria por cada kilómetro que recorre. Si no lleva zanahorias para comer se detiene y no sigue caminando.

¿Cuál el el mayor número de zanahorias que conseguiremos transportar hasta el mercado?”

Analicemos el problema para intentar comprenderlo.

Tenemos unas zanahorias en el punto de partida…

zanahorias1

… bueno, alguna más…

zanahorias2

… ¡Tampoco tantas! Vamos a dejarlo en 900 zanahorias.

Tenemos también un burro que como máximo puede transportar de una vez 300 zanahorias (tan solo hay que verle la cara al pobre)…

burro

y un mercado al que tenemos que conseguir que llegue el mayor número posible de ellas, y que está a una distancia del punto de partida de 300 km.

burroyzanahorias2

Nuestro burro necesita comerse una zanahoria por cada kilómetro que recorre (esto es claramente una condición del problema), con lo cuál nos conviene que no haga más kilómetros de la cuenta, porque se comerá más zanahorias y nos quedarán menos para intentar llevarlas al mercado.

Esto es lo que comentaba anteriormente, a la vez que analizamos el problema (datos, condiciones…) nos ha surgido una idea clara que debe formar parte de nuestro plan o estrategia de resolución.

¿Cómo podemos evitar que haga kilómetros innecesarios? Pues haciendo los viajes, siempre que sea posible, con la mayor carga de zanahorias, es decir, con 300 zanahorias… en definitiva, aprovechando los viajes que hagamos al máximo.

Ya tenemos un plan o estrategia a seguir: que el burro realice siempre que se pueda los viajes cargado inicialmente con 300 zanahorias.

Lo primero que se nos puede ocurrir es recorrer los 300 km de una vez cargados con 300 zanahorias. Pero al llegar al mercado el burro se habrá comido las 300 zanahorias (300 km recorridos = 300 zanahorias que se come el burro) y no le quedará ninguna para poder emprender el viaje de vuelta para ir a por el resto, quedándose 600 en el punto de partida, y no habremos conseguido llevar ninguna zanahoria al mercado.

Eso sí, los amigos de lo ajeno nos lo agradecerán

Habéis observado que lo he representado gráficamente. Sin duda alguna la representación gráfica como estrategia de resolución de un problema es de gran ayuda, tanto para comprender mejor las partes constituyentes del problema como para la propia resolución. Yo siempre doy este consejo a mis alumnos: “si puedes dibuja“.

Seguimos…

De este primer intento nos queda clara una cosa: no podemos recorrer los 300 km de una sola vez, así que tendremos que dividir el trayecto en etapas y acopiar zanahorias en el camino para después volver a por ellas. Eso sí, escondiéndolas para que los “amigos de lo ajeno” no se las lleven en lo que tardamos en volver.

¿Y cómo de largas hacemos esas etapas?

Si no queremos volver a quedarnos parados sin poder seguir por falta de zanahorias, como máximo la etapa podrá ser de 150 km, pues cargado con 300 zanahorias, tendrá zanahorias suficientes para el viaje de vuelta.

Aunque ya os podéis imaginar lo que va a ocurrir, vamos a ver qué pasaría con una primera etapa de 150 km…

Realizando los viajes cargado con 300 zanahorias, el burro necesitará dos viajes de ida y vuelta y uno más de ida (ya no tiene que volver al punto de partida a por más zanahorias). Es decir, realiza 5 viajes de 150 km, recorriendo en total 750 km, con lo que se come 750 zanahorias y consigue llevar al kilómetro 150 una cantidad de 150 zanahorias (las 900 iniciales menos las 750 que se come).

Ahora, con las 150 zanahorias que nos han quedado, en una segunda y última etapa de 150 km, llegamos al mercado… ¡sin zanahorias! (150 km recorridos = 150 zanahorias que se come el burro) … Al menos antes se aprovechaban de la situación nuestros amigos de lo ajeno, y el burro nos diría algo así como: “si hay que ir se va, pero ir pá ná es tontería“.

Bueno. Está bastante claro que las etapas en las que tengamos que hacer algún viaje de ida y vuelta deben ser de menos de 150 km, porque de lo contrario no estamos consiguiendo nada.

Ya tenemos bastante más acotado nuestro problema.

Pues bien, no se trata de ir probando así sin más con distintas distancias, se nos puede hacer eterno y además no sabríamos bien cuando acabar. Vamos a pensar un poco, que para eso tenemos la cabeza (a parte de para llevar gorras y sombreros).

Recordad que había dicho que nos interesa hacer los viajes con la carga máxima de 300 zanahorias, para evitar hacer kilómetros innecesarios, de hecho esa era nuestra estrategia a seguir. Pues vamos a ver cómo podemos conseguir esto.

Como ya hemos visto antes, al tener 900 zanahorias en el punto de partida y poder llevar 300 en cada viaje, sea cual sea la longitud de la primera etapa, el burro tiene que hacer 5 viajes en total en dicha etapa (3 de ida y 2 de vuelta).

Así que nos interesa que, después de los 5 viajes de la primera etapa, queden o bien 300 o bien 600 zanahorias, porque así en la segunda etapa podremos realizar los correspondientes viajes con la carga máxima.

Para que después de la primera etapa nos queden 300 zanahorias, es decir, el burro se coma 600 zanahorias, tiene que haber recorrido 600 km entre los 5 viajes, con lo que la longitud de la primera etapa será de 120 km (resultado de dividir 600 km entre 5 viajes).

Análogamente, para que después de la primera etapa nos queden 600 zanahorias, es decir, el burro se coma 300 zanahorias, tiene que haber recorrido 300 km entre los 5 viajes, siendo en este caso la longitud de la primera etapa de 60 km (resultado de dividir 300 km entre 5 viajes).

Se puede intuir ya, viendo lo que nos ha pasado antes, cuál de las dos opciones es mejor, no obstante, como me gusta hacer siempre, vamos a verlas las dos.

Si la primera etapa es de 120 km

burroyzanahorias7

El burro realiza 5 viajes de 120 km, recorriendo en total 600 km, con lo que se come 600 zanahorias y consigue llevar al kilómetro 120 una cantidad de 300 zanahorias (las 900 iniciales menos las 600 que se come)…

burroyzanahorias8… y en una segunda etapa de 180 km, cargado con las 300 zanahorias, llega al mercado con 120 zanahorias (las 300 que tenía después de la primera etapa menos las 180 zanahorias que se ha comido en esos 180 km).

burroyzanahorias9

No está mal, pero vamos a ver la otra opción que decíamos (ya os podéis imaginar que ésta es mejor que la anterior).

Si la primera etapa es de 60 km

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Nuestro burro hace 5 viajes de 60 km, recorriendo en total 300 km, comiéndose por tanto 300 zanahorias y consiguiendo llevar al kilómetro 60 un total de 600 zanahorias (las 900 iniciales menos las 300 que se come)…

burroyzanahorias11

Después de esta primera etapa, se encuentra como hemos visto en el kilómetro 60 con 600 zanahorias, y aun hay una distancia de 240 km hasta el mercado.

Como son 600 zanahorias, va a necesitar más de un viaje para transportarlas y, además, al haber una distancia al mercado mayor de 150 metros, son necesarias al menos dos etapas más (esto ya lo habíamos deducido antes).

¿De qué longitud hacemos la segunda etapa?

Pues según lo que ya hemos visto, nos interesa que al terminar dicha etapa queden 300 zanahorias, para así en una última etapa hacer el viaje con la carga máxima posible.

En este caso, ya no hay que hacer 5 viajes (3 de ida y 2 de vuelta) como ocurría en la primera etapa donde teníamos 900 zanahorias, sino que al tener 600 zanahorias que transportar nos es suficiente con 3 viajes (2 de ida y 1 de vuelta).

Por tanto, para que después de la segunda etapa nos queden 300 zanahorias, es decir, el burro se coma 300 zanahorias, tiene que haber recorrido 300 km entre los 3 viajes, con lo que la longitud de la segunda etapa será de 100 km (resultado de dividir 300 km entre 3 viajes).

burroyzanahorias12Se llega así al kilómetro 160 con 300 zanahorias, que sí podemos cargar en un solo viaje en una última etapa de 140 km. Como en esos 140 km el burro se come 140 zanahorias, consigue llegar al mercado con… 160 zanahorias (las 300 del final de la segunda etapa menos las 140 que se come ahora).

burroyzanahorias13

Luego, esta es la respuesta a la pregunta que se nos hacía: el mayor número de zanahorias que conseguimos transportar hasta el mercado es 160.

¿Tiene sentido nuestro planteamiento y la solución obtenida?

Si lo pensáis, como ya comenté antes cuando planteaba las opciones de hacer una primera etapa de 120 km o de 60 km, claramente sí que lo tiene ya que, como inicialmente tenemos un mayor número de zanahorias que transportar, necesitamos hacer más viajes (de ida y vuelta) y la distancia a recorrer interesa que sea menor (el burro hace menos kilómetros en total y se come menos zanahorias). A medida que van quedando menos zanahorias para transportar y, por tanto, menos viajes de ida y vuelta que hacer, las etapas pueden ir siendo más largas porque afecta ya menos.

Pues eso es todo. Espero que os haya gustado.

Por cierto que…

Esta entrada participa en la Edición 8.5 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Santi García Cremades desde Raíz de 2.

(1) Bransford, J.D. y Stein, B.S.: Solución IDEAL de problemas. Guía para mejor pensar, aprender y crear. Ed. Labor, Barcelona, 1986 (trabajo original publicado en 1984).

(2) Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas (“How to solve it”). Ed. Trillas, México, 1965.


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12 comentarios en “Resolución de problemas, la heurística y el problema del burro y las zanahorias

  1. Buenas tardes, he dado aqui por pura casualidad :), me ha gustado el blog, ahora, tendran aplicación para Android??? tengo problemas con mi dispositivo y me cuesta leer desde el navegador,

    Felicidades

  2. PER – FEC – TO
    De verdad que creo que no se pueda hacer una exposición tan detallada, entendible, precisa y amena como ésta.
    Enhorabuena una vez más.

  3. Hola Amadeo,

    mientras unos corren porque les gusta, otros necesitan motivos para hacerlo. Creo que con las matemáticas sucede lo mismo: a quienes nos gustan, vemos un problema y no necesitamos más, pero a quienes no, necesitan un aliciente, que les debemos dar. Este se puede aportar ya desde el planteamiento del problema y lo haces. Pero, para mí, le has dado un enfoque atractivo para los niños, pero su solución requiere de destrezas que se consiguen en cursos posteriores en los que ese contexto ya no les llama la atención. Por ello, sugiero el siguiente contexto para el mismo problema que ofreces:

    Han pasado unas décadas y nadie en el mundo duda que estamos sufriendo un cambio climático. Los pronósticos, que hasta ahora han fallado poco, no dan otra alternativa diferente a migrar hacia otro punto de la Tierra que dista 3000 Km de nosotros. En ese lugar no vive nadie, por lo que tendremos que transportar energía. Disponemos de un mes de plazo para generar dicha energía que será transportada por un camión eléctrico, ya que el petróleo se agotó hace varios años. Con ese mes podemos generar y almacenar 9000 kwh de electricidad para ser transportada por el camión. Para simplificar el problema supondremos que resulta lo mismo hacer una batería de 9000 celdas que 9000 baterías de 1 celda. El camión necesita 10 kwh para desplazarse 10 km cuya energía tomará de la almacenada en la/s batería/s que transporta. Debido al peso, sólo puede transportar, a lo sumo, 3000 celdas. ¿Cómo hacer el viaje para que llegue la máxima cantidad de energía al lugar esperanzador?

    Ahora habría que revisar la veracidad de las cifras para darle más realismo. Espero que te sirva el comentario. Opino que tienes un buen blog.

    • Muchas gracias Alejandro por tu aporte. Es interesante el enfoque que le das. Eso sí, igual habría que intentar hacer más sencillo el enunciado porque ya sabemos que, aunque no nos guste, se pierden cuando hay mucho texto (algo en lo que hay que trabajar mucho con ellos).

      Este problema del burro y las zanahorias lo trabajé en clase con alumnos de 1° ESO y fuímos todos buscando la solución poco a poco, prácticamente como lo he expuesto yo aquí… bueno, y con más pruebas de su parte que fue lo más interesante porque ellos mismos se iban dando cuenta de hacia dónde tenían que ir.

      Reitero mi agradecimiento por tu aportación.
      Un saludo.

  4. Muy bien Amadeo, no te has dejado nada, la explicación y los gráficos que acompañan son de 10, es imposible que haya alguien que no lo haya entendido.
    Ya sé que me repito mucho con el comentario, pero es que una vez más te tengo que dar la enhorabuena.
    Un saludo

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