Teselaciones regulares con un solo tipo de polígono regular

Un teselado o teselación​ consiste en una regularidad o patrón de figuras que cubren completamente una superficie plana, de manera que no quedan espacios ni tampoco se superponen las figuras.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas (sin variar las dimensiones ni el área) sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir totalmente una superficie.

De los muchos tipos de teselaciones que hay, la más básica podríamos decir que es la teselación regular o teselado regular, en la que se utiliza solo un tipo de polígono regular.

Pues bien, solo son posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Con un pentágono regular, por ejemplo, no se puede.

Te lo muestro en la siguiente animación:

 

¿Y por qué solo triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares?

Si lo pensamos un poco, la razón es bastante sencilla.

Si queremos cubrir todo el plano sin solapamientos ni huecos, en un vértice cualquiera del teselado la suma de los ángulos interiores de los polígonos que tienen ese vértice en común debe ser de 360º.

Dado que, como he comentado antes, el teselado regular se hace con un único tipo de polígono regular, dicho polígono debe tener un ángulo interior que sea divisor de 360º.

Pues ocurre que los únicos polígonos regulares cuyos ángulos interiores son divisores de 360º son el triángulo equilátero (60º), el cuadrado (90º) y el hexágono regular (120º).

Por eso en un teselado regular triangular, en un vértice hay 6 triángulos equiláteros (360º/60º=6)…

En un teselado regular cuadrado hay 4 cuadrados en un vértice (360º/90º=4)…

Y en un teselado regular hexagonal hay en cada vértice 3 hexágonos regulares (360º/120º=3)…

¿Qué ocurre con el pentágono regular que hemos visto en la animación anterior?

Vamos a calcular el valor de sus ángulos interiores.

Si recuerdas, el ángulo interior o interno de un polígono regular viene dado por la expresión:

donde n es el número de lados del polígono regular y α su ángulo interior en grados.

Así, en un pentágono regular, con n=5, el ángulo interior es…

Y 108º no es divisor de 360º, de hecho 360º/108º=3,333…

Esto quiere decir que utilizando tres pentágonos con un vértice en común, cubrimos 324º de los 360º, quedando 36º sin cubrir…

y si queremos cubrirlo todo con pentágonos regulares no nos queda otra opción que solaparlos, dejando de ser ya un teselado.

La animación empleada en esta entrada ha sido vista en un tuit de @Rainmaker1973 (fuente)


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