¿Cuál es el área total de la parte sombreada del rectángulo ABCD?

¿Cuál es el área total de la parte sombreada del rectángulo ABCD?

Piénsalo e intenta resolverlo.

¿Lo tienes ya?

Vamos a ver la SOLUCIÓN.

Como puedes observar las zonas sombreadas se corresponden con triángulos.

El área de un triángulo es algo bastante conocido y viene dado por la expresión:
donde A es el área, b es la base del triángulo y h su altura.

Si intentas ahora calcular el área de cada triángulo para después sumar las áreas, te encontrarás con que conoces la altura (h) de todos pues es la misma (5 cm, que es la longitud del lado AD), pero no tienes datos suficientes para saber el valor de la longitud de cada una de las bases (DG, GH, HI e IC).

Aunque no supone ningún problema porque no las necesitamos.

Vamos a expresar algebraicamente el área total de la parte sombreada como suma de las áreas de los triángulos que la componen:

Si sacamos factor común AD/2 tenemos que:

Y como DG+GH+HI+IC = DC y, a su vez, DC = AB por tratarse de un rectángulo, nos queda que el área total de la zona sombreada es:

es decir, justo la mitad del área del rectángulo (ARECTÁNGULO = AB · AD).

Como conocemos los valores de AB y AD (de hecho son los únicos datos numéricos que tenemos), 11 y 5 cm respectivamente, basta ahora con sustituirlos en la expresión anterior para obtener el valor numérico del área sombreada:

Y ésta es la solución de nuestro problema.

Resumiendo y a modo de conclusión, la suma de las áreas de varios triángulos de igual altura equivale al área de un solo triángulo con esa altura y cuya base sea la suma de las bases. Y, además, en nuestro caso concreto, como al sumar las bases de los triángulos sombreados se obtiene la base del propio rectángulo, por la propia definición del área del triángulo respecto del área del rectángulo, el área sombreada es la mitad del área del rectángulo.

Lo interesante de este problema es darse cuenta de que habríamos obtenido el mismo resultado con cualquier otra región sombreada formada por triángulos que se nos hubiese ocurrido siempre que las bases de dichos triángulos “abarcasen” por completo uno de los lados del rectángulo y la longitud de la altura fuese la longitud del lado perpendicular al anterior en dicho rectángulo.

Por ejemplo…

y todos los que se os puedan ocurrir…

… en todos ellos el área sombreada es justo la mitad del área del rectángulo.


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7 comentarios en “¿Cuál es el área total de la parte sombreada del rectángulo ABCD?

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