¿Por qué “funciona” la multiplicación con los dedos?

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El martes pasado estuve en un curso sobre el método ABN (cálculo Abierto Basado en Números) destinado a las madres y padres del colegio donde estudian mis dos hijas, el CEIP Alba Plata. Sin duda, una extraordinaria y coherente idea por parte del colegio organizar dicho curso, pues difícilmente podrían los padres y madres, como parte de la comunidad educativa, ayudar a sus hijas e hijos si no conocen la metodología con la que están trabajando.

Antes de seguir, soy consciente de que la Real Academia Española dice que es innecesario el desdoblamiento del sustantivo en su forma masculina y femenina (yo he utilizado madres y padres, y también hijas e hijos)… y que debe realizarse el uso genérico del masculino por “economía de lenguaje”… aunque, puestos a economizar ¿por qué no emplear el femenino genérico? … vaya, que la RAE dice que eso sería incorrecto… bueno, pues me vais a permitir que me quede con padres y madres (y viceversa) y con hijas e hijos que, aunque con ello parece ser que estoy incurriendo en la “innecesariedad”, no he adentrado en la “incorrección”, así que sigo siendo “correcto”.

Volvamos al asunto de esta entrada, y perdonad por la puntualización.

En el transcurso de dicho curso, antes de ver la multiplicación, el maestro que lo impartía, Juan, expuso a los asistentes, al margen de la propia metodología ABN, la multiplicación mediante el uso de los dedos, como una actividad de apoyo al aprendizaje de las tablas del 6, 7, 8 y 9 y, lo que es más importante, como una forma de generar sorpresa y curiosidad.

Como he comentado, se trata de un método para multiplicar números mayores de 5 (cinco son los dedos de una mano), es decir, todas las combinaciones posibles de los números 6, 7, 8 y 9. Por ejemplo 6 x 7, 8 x 9, 6 x 9…

¿Y en qué consiste?

En cada mano se levantan los dedos que corresponden a cada número, tal y como se muestra en la siguiente imagen…

… es decir, se levantan tantos dedos como unidades tenga el número por encima de 5. Da igual la posición del dedo que levantemos, lo realmente importante es que al 6 le corresponde un dedo subido (6 – 5 = 1), al 7 dos (7 – 5 = 2), al 8 tres (8 – 5 = 3) y al 9 cuatro (9 – 5 = 4).

 Así, si el producto que queremos calcular es, por ejemplo 7 x 8, colocaríamos las manos de la siguiente manera…

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Ahora, sumamos primero los dedos que están extendidos o abiertos, y lo que obtenemos son las decenas del resultado. En nuestro ejemplo sería  2 + 3 = 5 (decenas), es decir, 50 (unidades).

Y a continuación multiplicamos los dedos que están contraídos o cerrados, y el número obtenido corresponde a las unidades del resultado. En nuestro caso: 3 x 2 = 6 (unidades).

Ahora, sumamos ambos números y obtenemos el resultado. En el ejemplo que estamos viendo: 50 + 6 = 56

 No hace falta decir que, inmediatamente después de la exposición del método, el movimiento de manos con dedos extendidos y cerrados de los allí presentes fue notorio… y es que estas cosas hay que probarlas y … volver a comprobarlas.

Entonces, surgió la pregunta de uno de los padres… ¿Y esto, por qué funciona?

Pues si os parece bien, lo que en ese momento yo hice con el papel y el bolígrafo que llevaba por si necesitaba tomar alguna nota, lo vamos a hacer aquí juntos…  a ver si conseguimos deducir por qué “funciona” este método de los dedos.

Vamos a intentar traducir o plasmar los pasos que vamos haciendo al multiplicar con los dedos en una expresión algebraica. Que nadie se asuste, porque es muy sencillo.

Podríamos también probar todos los casos posibles de multiplicación con este método y comprobar que, efectivamente, se obtiene siempre el resultado correcto (que más o menos fue lo que hicieron los asistentes al curso en aquel momento). En este caso no son muchos y sería viable, pero en muchas ocasiones la cantidad de combinaciones posibles y, con ello, posibilidades a comprobar, son tantas que resultaría realmente tedioso e improductivo.

Por eso recurrimos, como he comentado antes, a una expresión algebraica que nos permita plantear el caso general.

Básicamente, la diferencia entre una expresión algebraica y una puramente numérica es que, en la primera, utilizamos letras para representar cantidades que pueden ser variables, y en la segunda sólo utilizamos números.

Es decir, una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones que nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones o situaciones del lenguaje habitual.

Así que, lo primero es definir las variables (las cantidades o números que pueden variar representados por letras). En nuestro caso está claro que dichas variables serán los números que queremos multiplicar y que, como hemos comentado, pueden tomar los valores 6, 7, 8 ó 9.

Podemos llamar, por ejemplo x a uno de esos números e y al otro número.

De esta manera la multiplicación de los dos números, escrita así de forma general, sería:

x · y

Por cierto, si queremos indicar de una manera más “formal” matemáticamente lo que hemos comentado antes de los posibles valores de x e y, lo haríamos así:

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Bien, lo dejamos ahí y vamos a reproducir lo que hacemos con este método de los dedos.

 Como hemos dicho que extendemos o abrimos tantos dedos como unidades sobrepase de 5 el número que estamos representando, en una de las manos tendremos abiertos dicho número x menos cinco:

x – 5    (dedos abiertos en una mano)

Y en la otra mano, análogamente, los dedos abiertos serán:

y – 5    (dedos abiertos en la otra mano)

Bien, ya sabemos cómo expresar los dedos abiertos en cada mano. Vamos a intentar expresar ahora los dedos cerrados.

Los dedos cerrados en cada mano son, básicamente, los que no están abiertos. Es decir, si en cada mano hay 5 dedos en total, los dedos cerrados serán cinco menos los que estén abiertos:

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Y, en la otra mano:

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Perfecto, ya tenemos la expresión tanto de los dedos abiertos como de los dedos cerrados en cada una de las manos.

Ahora sólo nos queda hacer lo que nos dice el método de multiplicación con los dedos.

Sumamos primero los dedos que están extendidos o abiertos…

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… y lo que obtenemos son las decenas del resultado“. Para expresar que son decenas lo que hacemos es multiplicar lo de antes por diez:

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Vamos con la otra parte… “Y a continuación multiplicamos los dedos que están contraídos o cerrados, y el número obtenido corresponde a las unidades del resultado

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Ahora, sumamos ambos números y obtenemos el resultado“. Pues eso, sumamos las dos expresiones anteriores:

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Qué no cunda el pánico aunque se vea así un poco feo.

¿Qué podemos hacer ahora?

… eso es, desarrollar la expresión algebraica anterior realizando las operaciones que se puedan.

Vamos a ello…

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y éste es el momento en que nos decimos a nosotros mismos “esto tiene buena pinta”, porque se anulan casi todos los términos de la expresión entre sí…

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… quedándonos…

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que es justo lo que queríamos: el producto o multiplicación de los dos números.

(Si esto fuera un examen, nos daría en este momento un “subidón” considerable)

Es decir, el método de la multiplicación mediante el uso de los dedos “funciona” porque lo que estamos haciendo con él es equivalente a multiplicar los dos números.

Pues ya está, ya podemos estar tranquilos si lo utilizamos, porque tenemos la seguridad de que va a “funcionar”.

Por cierto, este método de los dedos, aparte de valer para multiplicaciones con los números 6, 7, 8 y 9 como se ha indicado, también nos valdría para productos con el 5 (no extenderíamos ningún dedo y estarían los cinco cerrados) y el 10 (tendríamos los cinco dedos de la mano extendidos y ninguno cerrado). Pero no se suele mencionar que también vale para estos números porque precisamente la tabla del 5 y del 10 no suelen presentar problema alguno para los alumnos, con lo que no se ven en la necesidad de tener que emplear este “truco” de los dedos.

Una última cosa. Ahora, cuando os digan eso de “Piensa un número, súmale 10, multiplícalo por 2, réstale 6… ¿te ha salido…?” Si queréis comprobar por qué “sale” ese resultado que os dicen, penséis el número que penséis, podéis hacer lo mismo que hemos hecho aquí, le llamáis x al número que tenéis que pensar y vais “fabricando” vuestra expresión algebraica con los pasos que os van diciendo. Después, tan solo tenéis que desarrollar esa expresión algebraica haciendo todas las operaciones que se puedan realizar y… llegaréis al número que os decían que os iba a salir.

Os dejo este enlace a uno de esos “trucos” por si queréis animaros a demostrar por qué “sale”…

Jugando con números III

Eso sí, mucho ojo con agrupar bien las operaciones, no pasa nada si utilizáis más paréntesis de la cuenta para estar bien seguros o seguras.

Esta entrada participa en la Edición 6.8: “El número 26” del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

¡Ah!

Antes de que os vayáis.

Ya que esta Edición del Carnaval de Matemáticas se llama “El número 26”, os invito a que le echéis un ojo a esta entrada del blog que cuenta alguna que otra curiosidad sobre este número, no poco peculiar…

El número 26… ¡Un número especial!

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34 comentarios en “¿Por qué “funciona” la multiplicación con los dedos?

  1. Se le ve el plumero rojo, camarada (muy triste esta tendencia de lOs profesores rojos de impartir doctrina de su secta progre).
    No hay futbolistOs, ni periodistOs por lo que ve usted que una cosa es la lengua y otra las gilipolleces que quiera hacer uno con ella para meter su sucia y asesina ideología.
    Por favor, hable de matemáticas mucho (que lo hace muy bien) y deje la perroflautez para su tiempo libre.
    Gracias

    • Hola Ciriaco (debo suponer que es realmente su nombre, porque el correo electrónico que adjunta no da muchas pistas de ello).
      Antes de responder, quisiera hacerle ver que encuentro bastante fuera de lugar el comentario, y no termino de entender el por qué de una reacción tan exacerbada. Podría, como administrador, no haberlo aprobado, pero quiero entenderlo como una forma de pensar y no veo por qué hacerlo.
      Es evidente que no me conoce, porque lo de “rojo” dista bastante de mi persona, de hecho es muy probable que el comentario causase en las personas que sí me conocen bastante perplejidad y, si me apura, no pocas carcajadas (y no se ofenda con ello, pero es que es la verdad). No soy “rojo”, ni “amarillo”, ni “verde”, ni “azul”, ni “rosa”… vamos que color lo que se dice color como mucho el de mi piel, que cambia con el sol, y tampoco es representativo de nada la verdad. Tampoco tengo muy claro que conlleva la “perroflautez” a la que hace mención, yo concretamente ni tengo perro ni flauta, pero tampoco termino de encontrar la relación entre eso y el “tipo” de persona.
      No obstante no tendría por qué ser relevante, cada uno es como es.

      Desconozco si usted sigue alguna secta, yo desde luego no, ni “progre” ni “no progre”, de hecho es que no sabría definir qué es “ser progre o no” (quizás usted lo tenga más claro que yo) y, desde luego, jamás me he planteado “adoctrinar” a nadie ni que me “adoctrinen” a mi, pues considero que cada persona es libre de pensar como quiera y como sienta, respetando siempre a las demás. Igualmente tampoco tengo una “ideología” más allá de las ideas que pueda tener como persona; Ideas que evolucionan y cambian con las experiencias, como lo hace también la persona. Pero, de todas maneras, las ideas que yo pueda tener y mi forma de ver y entender las cosas tampoco deberían importar tanto a las demás personas ni ser motivo de controversia, a no ser que esas otras personas sí que pretendan “adoctrinar” en algun tipo de “ideología” y se sientan ofendidas e incómodas ante cualquier discrepancia.

      “Sucia y asesina ideología”… desconozco qué hay detrás de esas palabras en su vida y qué es lo que le lleva a pronunciarlas… en mi caso, que yo no esté de acuerdo con algunos usos del lenguaje que como todo en esta vida cambia y depende y está condicionado por las circunstancias y la realidad de cada momento, puede que tenga que ver con que tengo dos hijas pequeñas que, a pesar de su aún corta edad, perciben ya tratos desiguales en el lenguaje, se plantean por qué los niños (sus compañeros) dicen que ellas “no pueden ser” determinadas cosas que son “de chicos”… que los pilotOs de carreras son chicos, que los ingenierOs son chicos, que los médicOs son chicos… que ellas tienen que ser princesAs, enfermerAs… El simple hecho de que ellas mismas, con la sinceridad y la transparencia que lo hace una niña o un niño, cuando escuchan “… que los niños lleven la camiseta del colegio…” pregunten: “¿Las niñas tambien la llevamos, no?” creo que ya dice mucho de que algo en el lenguaje puede que no esté funcionando como debiera.
      Buscar alguna excepción en el lenguaje (futbolista, periodista) para intentar ocultar una realidad no creo que sea lo más apropiado, aunque es libre de hacerlo si lo considera conveniente.
      El lenguaje es una herramienta, y como tal se debe tener mucho cuidado con ella. Eso era algo que se tenía muy claro hace muchos años y se utilizó para reforzar ciertos convencionalismos y ciertas realidades del momento.

      Pero, con todo esto, no pretendo ni de lejos hacerle ver nada. Simplemente estoy exponiendo por qué me expreso así y, en parte, respondiendo a su comentario ya que hacía mención a “gilipolleces” y me estaba etiquetando y catalogando sin conocerme.

      Seguiré hablando de matemáticas, porque me gusta mucho hacerlo, y le agradezco que comente que lo hago muy bien, pero espero que no le moleste que lo haga también como persona, con todos los matices propios y “gilipolleces” que ello pueda tener.

      Un cordial saludo Ciriaco. Respeto su opinión aunque no la comparta.

      • Ole! Ole! y Ole!
        Esta respuesta sí es saber estar y de todo un señor. Me quito el sombrero.
        No sólo habla muy bien de matemáticas, se expresa con una facilidad pasmosa y transmite con un don natural envidiable y admirable, sino que también demuestra ser una persona de grandes valores, con la cabeza muy bien amueblada y una mentalidad abierta que ojalá otras muchas personas tuvieran.
        Sinceramente todo esto que dijo tira por los suelos cualquier ocurrencia y comentario falto de sentido como el de este señor que dice llamarse Ciriaco, que seguro sólo pretendía incomodar y causar crispación, como tantas personas que en lugar de aportar se empeñan en destruir, quizás porque no sepan hacer otra cosa.
        Gracias por no haber borrado el comentario de esa persona y permitirnos sentir como nuestra su respuesta y gracias por tanto como aporta con este blog, como bien dice con todos sus “matices“.

      • Si le soy sincera ya le admiraba por el magnífico trabajo que hace en su blog. Consigue con extraordinaria facilidad que sean entretenidas e interesantes cosas que jamás me lo habían parecido y que ahora mucho tiempo después por fin entiendo. Pero después de leerle en este comentario mi admiración es aun mayor y hacia su persona.
        Reconozco que yo no hubiese sido capaz de tal despliegue de educación, sensatez y cordura, y hubiese saltado a la primera no con mucha educación a las palabras del señor este. Yo le hubiese llamado de todo, y ahora veo que no hubiese sido la mejor forma de hacerlo.
        Como mujer y madre tambien de dos niñas que soy le doy mil gracias de todo corazón. Por favor no cambie y siga haciéndo las cosas como las hace. Ojalá hubiese mucha gente como usted.

  2. Parece muy interesante porque aparte que aprende las tablas de multiplicar también practica el calculo mental mi pregunta funcionara con un niño hiperactividad por todas las características que ellos poseen

    • Hola Rocío, muchas gracias por comentar.
      No soy especialista en el tema de niños con hiperactividad, por lo que no me veo autorizado para responder a tu pregunta. No obstante es cuestión de probar.

      Un saludo.

    • Gracias por comentar Nestor.
      He intentado explicarlo con el mayor detalle posible para que se entienda bien, así como el fundamento matemático que tiene detrás. Creo que es bueno que quien enseña este truco a sus alumnos sepa por qué funciona, porque es fácil que un alumno le pregunte “¿Y por qué sale?”.
      Un saludo y de nuevo gracias por tu comentario.

    • Hola Paco.

      Sé porque lo dices, pero es exáctamente igual. Observa que por un lado se obtienen unidades y por otro decenas.

      Lo vemos:
      En 6×7 tenemos en una mano un dedo extendido y en la otra dos.
      Bien, sumamos primero los dedos que están extendidos o abiertos, y lo que obtenemos son las decenas del resultado. En nuestro ejemplo sería 1 + 2 = 3 (decenas), es decir, 30 (unidades).

      Y a continuación multiplicamos los dedos que están contraídos o cerrados, y el número obtenido corresponde a las unidades del resultado. En nuestro caso: 4 x 3 = 12 (unidades).
      Ahora, sumamos ambos números y obtenemos el resultado: 30 + 12 = 42.

      No pasa nada porque obtengamos más de 9 unidades cuando hay muy pocos dedos extendidos, porque precisamente a los niños (y no tan niños) la suma que hay que hacer no les presenta ninguna dificultad.

      El método sigue funcionando igual.

      Un saludo y gracias por comentar Paco.

  3. Genial!! me ha encantado, esta tarde mismo se lo voy a explicar a mis hijos (lo de los dedos…jejeje, el resto todavía no lo entenderían, tienen 7 añitos :D)
    ¡Muchas gracias!

    • Gracias Pilar.
      Espero que les guste a tus hijos también.
      La segunda parte de la demostración con expresiones algebraicas, como muy bien dices, mejor se la dejas para los 12-13 años 😉.

      Muchas gracias por comentar Pilar. Un saludo para la familia.

  4. El género masculino en el español es un género no marcado, es decir, que no indica nada sobre el género de quien se habla. Por eso puede ser utilizado para designar hombres o mujeres. El género femenino designa sólo a las mujeres, por lo que no puede utilizarse de modo genérico. Es una economía del lenguaje porque las palabras necesitarían una forma para el masculino “hijo”, otra para el femenino “hija” y otras para una designación genérica “hije” o algo así. ¿Para qué tener tres formas, cuando con dos nos podemos valer perfectamente, y nos hemos entendido sin problemas? La lengua y su uso no entienden de politiqueos baratos y absurdos. Hay leyes cuya redacción se ha hecho ilegible gracias al uso este de ahora. Luego entorpece la transmisión de ideas, y por tanto, debe evitarse.

    • Hola Pedro.
      Tu opinión es perfectamente respetable, como lo son también las demás.
      Yo personalmente no la comparto, pero tan solo es mi opinión, no pretendo adoctrinar a nadie con ella. Cada persona es libre de pensar y actuar como lo crea más conveniente.
      El problema de todo esto viene de quienes y en qué época y momento se fijaron todas esas normas. Quizás en otra situación hubiese sido muy diferente y ahora a muchas personas no les sonaría “extraño” un fenenino genérico, pues lo verían perfectamente natural.
      Habría que preguntarse por qué se utilizó en aquel momento (y se ha seguido conservando) el masculino como genérico y no el femenino. En definitiva es algo fijado por personas (casualmente hombres) en una época en que, casualmente también, sólo decidían los hombres.
      Pero esto da para mucho que debatir y, como comento en la entrada, no es el objteto de la misma, sólo mi opinión.
      Gracias por aportar comentando.
      Saludos.

    • Hola César.
      Lo primero gracias por tu comentario.
      Respecto al número 40 hay bastantes cosas de las que se puede hablar, y no sólo de su significativo en la tradición judía, cristiana e islámica.
      Pero, ahora que lo has mencionado, tomo nota y permíteme que lo reserve para una posible entrada sobre este número ;).
      Un saludo y gracias de nuevo.

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