El tamiz de Apolonio y su versión tridimensional

Apolonio de Perge (Perge, c. 262 a. C.– Alejandría, c. 190 a. C.), fue un geómetra griego famoso por su obra “Sobre las secciones cónicas”. Conocido como “El Gran geómetra” fue quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos.

También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna.

Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círcunferencias dadas, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, “Las Tangencias o Los Contactos”, conocida gracias a Pappus de Alejandría.

Si las tres circunferencias dadas son tangentes entre ellas, el problema de Apolonio tiene dos soluciones que se corresponden a las circunferencias inscrita y la circunferencia circunscrita respectivamente. Tales soluciones se muestran en las siguientes figuras. A estas circunferencias se las conoce como circunferencias de Soddy. Este caso especial del problema de Apolonio también se conoce como problema de las cuatro monedas.

Circunferencia tangente interior
Circunferencia tangente exterior

Si resolvemos el problema de Apolonio para encontrar la circunferencia inscrita de forma repetida, se pueden llenar los huecos que quedan entre las circunferencias tangentes tan finamente como queramos, formando así el llamado tamiz de Apolonio, también conocido como empaquetado de Leibniz o empaquetado apoloniano.

Este tamiz es un fractal autosemejante que posee una dimensión de Hausdorff desconocida, pero de la que se sabe que es alrededor de 1.3057, y que es mayor que la de una curva regular o rectificable (d = 1) pero más pequeña que la de un plano (d = 2). A pesar de su denominación, es precisamente el matemático alemán Gottfried Leibniz quien describe por primera vez el tamiz de Apolonio ya en el siglo XVII, siendo el precursor curvo del triángulo de Sierpinski del siglo XX.

Tamiz de Apolonio

Si buscamos ahora su equivalente en tres dimensiones, sustituyendo las circunferencias por esferas, tenemos el conocido como empaquetamiento de esferas de Apolonio.

En la siguiente figura se muestra una sección del mismo, que nos permite observar el interior de dicho empaquetamiento tridimensional.

Sección del empaquetamiento de esferas de Apolonio

En este caso, la dimensión de Hausdorff de este fractal es 2.4739, y fue calculada por M. Borkovec, W. De Paris y R. Peikert.

Fuente imágenes 2D: nomolestesmiscirculos.hol.es

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8 comentarios en “El tamiz de Apolonio y su versión tridimensional

  1. Muy bueno y gracias por compartir la nueva geometría fractal prácticamente no se enseña en las aulas, es tan bella y útil para admirar la naturaleza y de esta manera hacerla atractiva para nuestros alumnos la matemática.

    • Gracias a ti Yolanda.
      El campo de los fractales es muy interesante y, como bien dices, puede ser muy útil para hacer más atractivas las matemáticas a los alumnos.
      Un saludo y gracias por el comentario Yolanda.

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