¿Cuántos cuadrados eres capaz de formar con 54 cerillas sin cruzarlas?

El reto consiste en lo siguiente:

“Tenemos 54 cerillas (fósforos, cerillos, mixtos, matches…).

Con esas 54 cerillas (fósforos, cerillos, mixtos, matches…) y sin cruzarlas ¿cuántos cuadrados eres capaz de formar?”

Si no lo habías visto hasta ahora o aún no te habías puesto a intentar solucionarlo, intenta resolverlo antes de seguir leyendo.

Si ya has llegado a tu solución (la que consideras mejor) puedes, si quieres, echarle un ojo a la resolución de otro problema de cerillas más sencillo que propuse en su momento: Problema de las 9 cerillas y los triángulos, y quizás te dé alguna idea nueva que no se te hubiese ocurrido.

De una manera u otra, cada persona habrá llegado a una solución, la suya.

Pues bien, vamos a intentar resolver este reto paso a paso, siguiendo más o menos el razonamiento lógico que podriamos llevar hasta llegar a la que considero que seria la mejor solución.

Repito, si no quieres ver aún la solución ¡no sigas leyendo!

¿Seguro que quieres verla?

¡No sigas si aún no lo has intentado!

Bueno, aquí va la RESOLUCIÓN…

El problema nos dice que tenemos 54 cerillas y que con ellas debemos formar el mayor número posible de cuadrados. Y, además, nos dice que podemos disponerlas tocándose por sus extremos pero no por un punto intermedio (formando una cruz).

Lo primero que se nos podría ocurrir sería formar cuadrados independientes con las cerillas

De esta manera conseguiríamos 13 cuadrados y nos sobrarían 2 cerillas.

Pero al ver la imagen, la idea que se nos viene a la cabeza es “juntarlos”, es decir, utilizar una de las cerillas como lado común

De esta manera empleamos menos cerillas y conseguimos más cuadrados. Concretamente obtenemos así 17 cuadrados y nos sobran igualmente 2 cerillas.

El simple hecho de que nos sobren 2 cerillas a mi personalmente no me gusta mucho, y supongo que a vosotras y vosotros tampoco.

Lo siguiente es pensar: “¿Y por qué no coloco las cerillas de manera que pueda formar cuadrados más grandes?

Es decir, podemos formar, por ejemplo, cuadrados de lado 2 cerillas y que dentro tengan otros cuadrados de 1 cerilla de lado, como se muestra en la imagen siguiente

Así, al haber más cerillas que son lado común a dos cuadrados y además cuadrados de mayor tamaño, conseguimos más cuadrados con el mismo número de cerillas.

Si esto lo aplicamos a nuestras 54 cerillas, ampliando esta configuración a cuadrados de mayor tamaño, la mejor disposición de las cerillas (habría otras disposiciones equivalentes a ésta) sería la siguiente

Veamos cuántos cuadrados conseguimos así:

  • 22 cuadrados de lado 1 cerilla.

  • 13 cuadrados de lado 2 cerillas.

  • 6 cuadrados de lado 3 cerillas.

  • 2 cuadrados de lado 4 cerillas.

Así que, resumiendo, de esta manera hemos conseguido 43 cuadrados con nuestras 54 cerillas y, además, no nos ha sobrado ninguna.

 ¿Bien no?

¡No está nada mal!

¿Lo dejamos así entonces?

No se vosotros, pero yo no me conformo con esto.

Permitidme que volvamos a la imagen anterior del cuadrado de lado dos cerillas

Lo siguiente que hicimos fué ampliar esta configuración formando más cuadrados alrededor hasta utilizar las 54 cerillas.

Pero… ¿por qué limitarnos de esta manera?

Puestos a buscar lados comunes prefiero salirme del plano e irme a un espacio tridimensional. Así que seguiré añadiendo cerillas pero perpendiculares a las de antes y cumpliendo la condición que se nos da de que las cerillas deben tocarse en los extremos

y ahora otro cuadrado como el primero

otras tantas cerillas perpendiculares

y, por último, otro cuadrado más

Bien, ya hemos utilizado nuestras 54 cerillas, pero ¿habremos conseguido más cuadrados que de la otra manera?

Mi intuición me dice que sí porque hay muchas cerillas comunes, pero vamos a comprobarlo.

Para que no se nos haga muy tedioso esto de contar los cuadrados, vamos a buscarnos un sistema que lo haga más sencillo.

Por cada “malla” o configuración de lado 2 cerillas como la que nos ha servido de punto de partida tenemos

5 cuadrados.

Así que basta con ver cuantas “mallas” o configuraciones así tenemos en nuestro cubo de cerillas

Tenemos 9 “mallas” con esa configuración y, como cada una tiene 5 cuadrados, hemos conseguido un total de…

¡¡¡45 cuadrados!!!

Pues sí, hemos conseguido dos cuadrados más que de la otra manera.

Lo cierto es que a veces nos limitamos nosotros mismos y, en muchas ocasiones, basta con mirar las cosas desde otra perspectiva para llegar a mejores soluciones.

Muchas gracias por vuestro tiempo y espero de verdad que os haya gustado.

Tanto las imágenes utilizadas como el problema propuesto y resuelto son de autoría propia.

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11 comentarios en “¿Cuántos cuadrados eres capaz de formar con 54 cerillas sin cruzarlas?

  1. Solo puedo decir una cosa ¡Qué bien lo haces Amadeo! Tienes un don y una capacidad espectaculares para transmitir y contagiar tu gusto por enseñar y por las matemáticas.
    Gracias por permitirnos pensar y por dejarnos disfrutar de todas y cada una de las entradas de este maravilloso blog. Y gracias también en nombre de mis alumnos ¡Les encanta!

    • Muchísimas gracias Aurora. Intento hacer las cosas sencillas y contarlas como a mí me gustaría que me las contasen y, sobre todo lo que dices, permitir pensar, porque eso son las matemáticas.

      Gracias y un saludo a tus alumnos.

  2. Me quedo casi sin palabras.
    Es impresionante el don que tienes para explicar las cosas y hacerlo de una forma tan clara, sencilla y detallada que es prácticamente imposible no entenderlo.
    Llega a dar vergüenza no haberlo visto antes de ver tu explicación porque, una vez que la ves, parece realmente obvio.
    Me encanta lo que haces.
    Es un placer seguir tu blog y abrir la mente de esta manera.

  3. Waaaooooo!!! no es bueno, es buenísimo!!!
    A partir de ahora abriré mi pensamiento al espacio en lugar de quedarme en el plano.
    Me encantó!!

  4. Bien, pues tengo que decir que me tengo que exigir a mí misma el ser más metódica (o ordenada) para “contar”, porque en el plano yo tenía dibujada la misma estructura que tú , pero yo sólo había contado 42 cuadrados, y en el plano también tengo dibujada la misma estructura que tú, pero yo sólo había contado 39 cuadrados.
    En el espacio comprendo perfectamente mi fallo porque dibujo tan rematadamente mal que es casi una misión imposible contar (me estoy autojustificando muy malamente, jaja..), pero en el plano se me ha escapado uno y eso sí que no me lo perdono.
    En fin, que soy una “chapuzas”.
    A lo que voy, que perfectamente explicado y que así da gusto. Qué bien lo haces, se nota que te gusta un montón y a la vez, transmites ese gusto por las matemáticas a los demás.
    Me encanta seguirte.
    Un saludo

    • Una vez más te tengo que dar las gracias por tus palabras Ada.
      Reconozco que disfruto explicando las cosas y enseñando. Me encantan las matemáticas y todo aquello en lo que haya que pensar y razonar. Y reconozco también que disfruto como un enano preparando las imágenes y dibujando, me gusta mucho.
      El simple hecho de pensar que puedo ayudar a alguien con lo que publico, hacer descubrir algo a alguna persona, ayudar a ver las matemáticas de una forma diferente o, sencillamente, hacer pasar un rato entretenido a alguien, me motiva para hacerlo.
      Gracias de verdad por seguirme y por aportar tanto con tus comentarios y tu apoyo a este blog.
      Un saludo.

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