SOLUCIÓN de “¿Cuántos hexágonos hay dibujados en la imagen?”

El problema o reto es el siguiente:

Si aún no has intentado resolverlo te invito a que lo hagas.

Si quieres ver ya la SOLUCIÓN sigue leyendo…

Lo primero por lo que podemos empezar es buscando hexágonos regulares, es decir, que tengan los 6 lados y los 6 ángulos iguales (para ser más exactos deberíamos decir congruentes entre sí) que son los que la mayor parte de la gente tiene en mente cuando se le habla de hexágonos y, además, la forma de la figura invita a ello:

cuantoshexagonos_01  cuantoshexagonos_02

 Pero no todo es regular, así que vamos a buscar ahora hexágonos irregulares:

 cuantoshexagonos_03  cuantoshexagonos_04

cuantoshexagonos_05  cuantoshexagonos_06

cuantoshexagonos_07  cuantoshexagonos_08

cuantoshexagonos_09  cuantoshexagonos_10

cuantoshexagonos_11  cuantoshexagonos_12

cuantoshexagonos_13  cuantoshexagonos_14

cuantoshexagonos_15  cuantoshexagonos_16

cuantoshexagonos_17  cuantoshexagonos_18

cuantoshexagonos_19  cuantoshexagonos_20

 Este “dibujo” parece que ya no nos da para más, así que vamos a seguir buscando más hexágonos irregulares con otra forma:

cuantoshexagonos_21  cuantoshexagonos_22

cuantoshexagonos_23  cuantoshexagonos_24

cuantoshexagonos_25  cuantoshexagonos_26

cuantoshexagonos_27  cuantoshexagonos_28

cuantoshexagonos_29  cuantoshexagonos_30

cuantoshexagonos_31  cuantoshexagonos_32

 Seguimos buscando…

cuantoshexagonos_33  cuantoshexagonos_34

cuantoshexagonos_35  cuantoshexagonos_36

cuantoshexagonos_37  cuantoshexagonos_38

cuantoshexagonos_39  cuantoshexagonos_40

cuantoshexagonos_41  cuantoshexagonos_42

cuantoshexagonos_43  cuantoshexagonos_44

 ¡Ya llevamos 44 hexágonos!

Pero… ¿esos son todos los que hay?

Quien me conozca ya un poco sabrá que la respuesta es NO.

Hasta ahora, todos los hexágonos que hemos identificado, regulares e irregulares, eran polígonos simples.

Polígonos simples (en nuestro caso hexágonos simples) son los que, muy a mi pesar, vemos casi siempre dibujados en cualquier libro de texto de matemáticas cuando se habla de polígonos y, consecuentemente, se suele tener en mente.

En un polígono simple ningún par de lados no consecutivos se corta (no es el caso de los lados consecutivos, que se cortan en el vértice).

Pero, puede ocurrir que uno o más pares de lados no consecutivos se corten, y en ese caso lo que tenemos son polígonos complejos.

Sí… también hay polígonos complejos, que no todo es simple en esta vida, de hecho casi nada lo es… o según cómo se mire.

Un ejemplo de hexágono complejo podría ser el siguiente:

poligonocomplejo

Como se indica en la última figura, donde ya está el hexágono complejo dibujado en su totalidad, el punto donde se cortan los lados 1 y 4 no es un vértice, pues por definición un vértice es el punto de intersección de dos lados consecutivos, y éstos no lo son.

Ahora sabiendo esto, volvamos a nuestro problema y sigamos buscando hexágonos, pues con los hexágonos complejos se nos abre ahora todo un “mundo de posibilidades”…

Podemos buscar, por ejemplo, hexágonos complejos del estilo de éste que hemos visto…

cuantoshexagonos_45  cuantoshexagonos_46

cuantoshexagonos_47  cuantoshexagonos_48

cuantoshexagonos_49  cuantoshexagonos_50

cuantoshexagonos_51  cuantoshexagonos_52

cuantoshexagonos_53  cuantoshexagonos_54

cuantoshexagonos_55  cuantoshexagonos_56

o estos otros…

 cuantoshexagonos_57  cuantoshexagonos_58

cuantoshexagonos_59  cuantoshexagonos_60

 cuantoshexagonos_61  cuantoshexagonos_62

cuantoshexagonos_63  cuantoshexagonos_64

cuantoshexagonos_65  cuantoshexagonos_66

cuantoshexagonos_67  cuantoshexagonos_68

cuantoshexagonos_69  cuantoshexagonos_70

 cuantoshexagonos_71  cuantoshexagonos_72

 … y estos hexágonos también…

cuantoshexagonos_73  cuantoshexagonos_74

cuantoshexagonos_75  cuantoshexagonos_76

cuantoshexagonos_77  cuantoshexagonos_78

cuantoshexagonos_79  cuantoshexagonos_80

cuantoshexagonos_81  cuantoshexagonos_82

cuantoshexagonos_83  cuantoshexagonos_84

y podemos seguir así, porque es cuestión de ir cambiando tamaños y posiciones…

cuantoshexagonos_85  cuantoshexagonos_86

 cuantoshexagonos_87  cuantoshexagonos_88

cuantoshexagonos_89  cuantoshexagonos_90

cuantoshexagonos_91  cuantoshexagonos_92

cuantoshexagonos_93  cuantoshexagonos_94

cuantoshexagonos_95  cuantoshexagonos_96

cuantoshexagonos_97  cuantoshexagonos_98

cuantoshexagonos_99  cuantoshexagonos_100

cuantoshexagonos_101  cuantoshexagonos_102

cuantoshexagonos_103  cuantoshexagonos_104

cuantoshexagonos_105  cuantoshexagonos_106

cuantoshexagonos_107  cuantoshexagonos_108

cuantoshexagonos_109  cuantoshexagonos_110

cuantoshexagonos_111  cuantoshexagonos_112

cuantoshexagonos_113  cuantoshexagonos_114

cuantoshexagonos_115  cuantoshexagonos_116

cuantoshexagonos_117  cuantoshexagonos_118

cuantoshexagonos_119  cuantoshexagonos_120

… o estos otros, parecidos a los anteriores…

cuantoshexagonos_121  cuantoshexagonos_122

cuantoshexagonos_123  cuantoshexagonos_124

cuantoshexagonos_125  cuantoshexagonos_126

cuantoshexagonos_127  cuantoshexagonos_128

cuantoshexagonos_129  cuantoshexagonos_130

cuantoshexagonos_131  cuantoshexagonos_132

 ¡132 hexágonos!

¿Hay alguno más?

Yo, personalmente, no he encontrado ninguno más, pero no descarto que se me haya “escapado” alguno pues, siendo sincero, cuando dibujé la figura del problema para proponerlo y me puse a buscar hexágonos, hasta yo mismo me sorprendí del número de hexágonos que obtuve.

Así que, si encontráis algún hexágono más os invito a que me lo comentéis, ya que este blog lo hacemos entre todos.

Tenía ganas de proponer un problema así para poder tratar los polígonos complejos, porque por culpa de las representaciones que se suelen emplear en los libros de texto, parece que los hexágonos sólo sean regulares y, aun cuando se sobrepasa esta barrera y se aceptan también los irregulares, da la sensación de que sean “más hexágonos” los convexos que los no convexos; Y ya no digamos los hexágonos complejos que, por tener la “mala suerte” de ser polígonos complejos, parece que ni sean hexágonos. Y es que, si bien en algunos libros se mencionan los polígonos complejos cuando se trata la clasificación de los polígonos, diferenciándolos del universo de los simples, después se convierten en una especie en peligro de extinción en los ejercicios y problemas, quedando como una mera anécdota.

Así es que, a todas aquellas personas que no hayan llegado a ver tantos hexágonos en la imagen que propuse, yo les diría que no es culpa suya, sino más bien de cómo se suelen enseñar las cosas.

Espero no haberos aburrido y ojalá este problema que decidí proponer le haya servido a alguien para saber algo más sobre los polígonos y ampliar un poco su concepto de polígono y, en concreto, de hexágono, o simplemente para haber pasado un rato entretenido.


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14 comentarios en “SOLUCIÓN de “¿Cuántos hexágonos hay dibujados en la imagen?”

  1. Los Polígonos Complejos también llamados Polígonos Cruzados son un tipo de Polígonos en los que al menos uno de sus lados se interseca con otro.
    los del ejemplo nro 54 son dos rombos es decir son 8 lados? o no son los que estan pintados?

    • Charlie, en los polígonos complejos o cruzados efectivamente se intersecan al menos dos de sus lados, pero ¡OJO! LADOS NO CONSECUTIVOS (si fuesen consecutivos sería un vértice la intersección). Desde el 45 al 56 son básicamente el mismo esquema de hexágono complejo, y no son dos rombos, ya que solo hay 6 lados y 6 vértices (la intersección que está en la zona central no es un vértice ya que es intersección de dos la dos NO CONSECUTIVOS).

      Lo tienes bien explicado todo en la imagen que está en la explicación de qué es un polígono complejo de la entrada (es justo el mismo caso).

  2. Amadeo, qué te voy a decir que no sepas ya…
    Has tardado un poco en dar la solución, pero ha merecido la pena la espera: Un trabajo magnífico. Realmente no puedo decir más.
    La organización de la solución, perfecta: El orden en el que has ido desarrollando la solución, perfecto. El planteamiento de la solución, perfecto. Las definiciones de todos los elementos que intervienen, perfectas. Las imágenes, perfectas (tus dibujos casi, casi empiezan a ser tan buenos como los míos, jaja…). Incluso las reflexiones finales que haces me parecen perfectas.
    ENHORABUENA!

    • Quien se queda casi sin palabras para poder agradecerte todo esto que estás diciendo soy yo.
      De verdad que significa y supone mucho para mi. Te lo agradezco de verdad y espero poder seguir disfrutando contando mis cosas y explicando lo mejor que puedo lo poco que sé. Porque cada día aprendo algo nuevo y me queda muchísimo por aprender aún. Y estoy deseando, porque me gusta y mucho, compartirlo con todos.
      Un saludo y de nuevo muchas gracias.

  3. Me siento vergüenza de no saber de los polígonos complejos.
    Gracias a su blog ya conozco esto también.
    Magnífico! Excelente resolución y explicación!

  4. Me he quedado K.O.
    Gracias, gracias, gracias por tanto como estoy aprendiendo con este blog.
    Jamás pensé que me gustaría tanto tantas y tantas cosas que estoy disfrutando aquí relacionadas con las matemáticas.
    Enhorabuena.

  5. Pingback: Bitacoras.com

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