¿Qué camino es más largo? Un sencillo y bonito problema de geometría

Tenemos dos puntos, A y B, y dos caminos diferentes para ir de uno a otro.

El camino de color azul va directamente de A a B, y el de color rojo lo hace a través de trayectos parciales (de A a C, de C a D, de D a E y, finalmente, de E a B).

Si todos los caminos son semicircunferencias ¿qué camino es más largo, el azul o el rojo?

¿Ya tienes tu respuesta?

Vamos a verlo.

Como todos son semicircunferencias y los puntos estan alineados, lo primero que podemos hacer es representar sus diámetros uniendo dichos puntos.

Y dado que se trata de comparar longitudes, vamos a ver la longitud de cada semicircunferencia.

La longitud de una semicircunferencia es lógicamente la mitad de la longitud de una circunferencia, es decir:

Lsemicircunferencia = 1/2 · Lcircunferencia = 1/2 · πd

siendo d el diámetro de la circunferencia.

De esta manera tenemos que:

Lcamino rojo = 1/2 · π · AC + 1/2 · π · CD + 1/2 · π · DE + 1/2 · π · EB

sacando factor común…

Lcamino rojo = 1/2 · π · (AC + CD + DE + EB)

como  AC + CD + DE + EB = AB, tenemos que…

Lcamino rojo = 1/2 · π · AB = Lcamino azul

Así es que, como seguro que muchos habíais deducido desde el principio (o no, puede que hubiéseis pensado que era más largo el camino rojo o el azul), los dos caminos tienen la misma longitud, aunque a simple vista pueda no parecerlo.

Fuente: math4teaching.com “Semicircle Road Trip #2”


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11 comentarios en “¿Qué camino es más largo? Un sencillo y bonito problema de geometría

  1. Creo que si todos los puntos están alineados, de manera que la suma de longitudes de los diámetros pequeños es igual a la del mayor, los dos recorridos son iguales.

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