¿Qué camino es más largo? Un sencillo y bonito problema de geometría

Tenemos dos puntos, A y B, y dos caminos diferentes para ir de uno a otro.

El camino de color azul va directamente de A a B, y el de color rojo lo hace a través de trayectos parciales (de A a C, de C a D, de D a E y, finalmente, de E a B).

Si todos los caminos son semicircunferencias ¿qué camino es más largo, el azul o el rojo?

¿Ya tienes tu respuesta?

Vamos a verlo.

Como todos son semicircunferencias y los puntos estan alineados, lo primero que podemos hacer es representar sus diámetros uniendo dichos puntos.

Y dado que se trata de comparar longitudes, vamos a ver la longitud de cada semicircunferencia.

La longitud de una semicircunferencia es lógicamente la mitad de la longitud de una circunferencia, es decir:

Lsemicircunferencia = 1/2 · Lcircunferencia = 1/2 · πd

siendo d el diámetro de la circunferencia.

De esta manera tenemos que:

Lcamino rojo = 1/2 · π · AC + 1/2 · π · CD + 1/2 · π · DE + 1/2 · π · EB

sacando factor común…

Lcamino rojo = 1/2 · π · (AC + CD + DE + EB)

como  AC + CD + DE + EB = AB, tenemos que…

Lcamino rojo = 1/2 · π · AB = Lcamino azul

Así es que, como seguro que muchos habíais deducido desde el principio (o no, puede que hubiéseis pensado que era más largo el camino rojo o el azul), los dos caminos tienen la misma longitud, aunque a simple vista pueda no parecerlo.

Fuente: math4teaching.com «Semicircle Road Trip #2»


Suscríbete al blog por correo electrónico

¡No te pierdas nada! Suscríbete de forma totalmente gratuita y recibirás un aviso a tu email cada vez que se publique una nueva entrada.

Únete a otros 5.922 suscriptores

11 comentarios en «¿Qué camino es más largo? Un sencillo y bonito problema de geometría»

  1. Creo que si todos los puntos están alineados, de manera que la suma de longitudes de los diámetros pequeños es igual a la del mayor, los dos recorridos son iguales.

    Responder
        • Bueno, esa línea es una línea auxiliar que dibujo yo en el primer paso de la resolución. El problema dice (y se representa así) clsramente que hay dos caminos, el rojo y el azul, y la pregunta se hace explícitamente para esos dos caminos. Considerar otro camino ya sería otro problema diferente al que propongo en la entrada 😉.

          Responder
          • Gracias a ti. El objeto del problema es, sin números, comprobar que realmente se entiende el concepto de longitud de una circunferencia (o semicircunferencia en este caso).
            Un saludo.

Deja tu comentario aquí... ¡Gracias por aportar!

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.