El Árbol de Pitágoras

El tan conocido y mencionado en la escuela teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Una forma tradicional de representar dicho teorema es la de la siguiente figura:

Teorema_de_Pitagoras

Podemos plantearlo como que tenemos un cuadrado, y sobre uno de sus lados construimos un triángulo rectángulo, de manera que sobre cada uno de los dos catetos de ese triángulo construimos sendos cuadrados de lado dichos catetos respectivamente.

Ahora, con los dos cuadrados construidos posteriormente podemos repetir el mismo procedimiento. Si, por ejemplo, lo repetimos dos veces más, tendríamos algo así:

arbol_3pasos

Este procedimiento podemos repetirlo tantas veces como queramos obteniendo… un fractal, conocido como Árbol de Pitágoras. Fue construido por primera vez por el profesor de matemáticas Albert E. Bosman (1891-1961), en Holanda en 1942.

Si utilizamos un triángulo rectángulo isósceles (los dos catetos del triángulo miden lo mismo), obtenemos un árbol de Pitágoras centrado, como se muestra en la siguiente figura.

Árbol de Pitágoras centrado

Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encaja perfectamente dentro de una caja del tamaño de 6L × 4L.

Si el triángulo rectángulo no es isósceles, conseguimos un árbol de Pitágoras descentrado.

Si ahora sustituimos los cuadrados por cubos, de manera que la relación entre las aristas es pitagórica, el resultado se muestra bastante espectacular:

Árbol de Pitágoras con ángulos de 30º y 60º
Árbol de Pitágoras con ángulos de 30º y 60º

Lo mismo podemos hacer con el árbol centrado que habíamos visto antes:

Árbol de Pitágoras centrado (ángulos de 45º)
Árbol de Pitágoras centrado (ángulos de 45º)

Y si, en este último, se introducen rotaciones respecto al eje X ó Y, la estructura se ramifica de manera más “natural”, obteniendo un resultado sorprendente.

Árbol de Pitágoras (45º / 45º / 90º)
Árbol de Pitágoras (45º / 45º / 90º)

Personalmente este último me parece una maravilla.

Fuente de árboles 2D: nomolestesmiscirculos.hol.es

Fuente de árboles 3D: Geometríadinamica.cl

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18 comentarios en “El Árbol de Pitágoras

  1. Hola. Tienes un blog sensacional que sigo. Enhorabuena por el trabajo de divulgación.

    Solo un pero. Algunas imágenes han sido creadas por mi. Están en mi blog nomolestesmiscirculos.hol.es
    Por cortesía, ¿ podrías añadir un enlace?

    Gracias.

    • Disculpa que no me haya dado cuenta de poner la referencia, sí lo hice con las imágenes en 3D. Ya lo he puesto.
      Gracias por tus palabras. Mi blog es muy humilde, pero intento hacer algo bueno porque me gusta.

      • Ya lo había imaginado. A mí mismo me ha pasado en alguna que otra ocasión. Tengo tantas ganas de terminar una entrada que, en el mismo instante que escribo la última palabra, doy al botón de publicar.

        Para mí no tiene importancia. Lo que escribo y publico es para los demás. Solo quiero difundir y divulgar la cultura matemática.

        Mi blog también es muy humilde. A ver si entre todos podemos transmitir algo de cultura matemática.

        Un abrazo. Sigue así

        P.D. He intentado averiguar cómo participar en el carnaval de matemáticas. En la web no hay mucha información. ¿Sabes tú cómo funciona?

        • A veces parece una verdadera cruzada acercar las matemáticas a todo el mundo (como dice la cabecera de mi blog) pero precisamente por eso lo hago, porque quiero que se vea que las matemáticas son mucho más de lo que se enseña en las escuelas y que hay otra forma de mirarlas y disfrutarlas.
          Lo del carnaval de matemáticas no lo se, miré algo por curiosidad pero no vi mucho, no obstante si me entero bien no dudes que te lo digo.
          Un abrazo y gracias de nuevo.

  2. Pingback: Bitacoras.com

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