En esta entrada vamos a hablar primero del concepto de divisibilidad, es decir, qué quiere decir que un número sea divisible entre otro, y después vamos a ir viendo los distintos criterios o reglas de divisibilidad que podemos utilizar para saber si un número es divisible entre otro.
Como son muchos los criterios de divisibilidad que os voy a enseñar aquí, bastantes más de los que suelen aparecer en los libros de texto y otras páginas web, podéis acceder directamente al que os interese seleccionándolo en el siguiente índice de contenidos:
Que un número sea divisible entre otro quiere decir, en un lenguaje sencillo, que al dividir (división euclídea) el primero entre el segundo se obtiene de resto cero, es decir, que la división es exacta (sin decimales).
Expresado en un lenguaje más formal:
Un número entero b es divisible entre otro entero a (no nulo) si existe un entero c tal que:
b = a ⋅ c
Esto es equivalente a decir que el resto de la división euclídea es cero o simbólicamente que:
b − a ⋅ c = 0
Se suele expresar de la forma a ∣ b , que se lee: «adivide a b«, o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a«.
Por ejemplo, 12 es divisible entre 3, ya que 12 = 3·4; pero 12 no es divisible entre 5, pues no existe un entero c tal que 12 = 5·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 12 entre 5 no es cero.
Imaginemos, por ejemplo, que tenemos una pizza de 8 porciones.
Si somos 4 comensales, se trata de ver si tocamos a un número entero de porciones cada persona y que no sobre ninguna porción (que 8 sea divisible entre 4) o si, por el contrario, sobra alguna o algunas de las porciones y hay que partirla o partirlas en trozos más pequeños para que todos comamos lo mismo y no quede nada (que 8 no sea divisible entre 4).
En el caso de 8 porciones de pizza y 4 comensales, cada comensal tocaría a 2 porciones, y no sobraría ninguna. Si dividimos 8 entre 4 obtenemos de cociente 2 y de resto 0. Es decir, 8 es divisible entre 4.
8 porciones de pizza repartidas entre 4 comensales. Tocan a 2 porciones y no sobra ninguna.
Si tuviésemos 8 porciones de pizza y 3 comensales, para saber si cada comensal toca a un número de porciones exacto sin que sobre ninguna, tendríamos que ver si 8 es divisible entre 3.
En este caso la división no saldría exacta, por lo que 8 no sería divisible entre 3. Traducido a nuestras porciones de pizza, cada comensal tocaría a 2 porciones enteras (el cociente de la división de 8 entre 3), pero sobrarían otras dos porciones (el resto de la división de 8 entre 3) que habría que partirlas en trozos menores para poder repartirlas a partes iguales entre los 3 comensales.
8 porciones de pizza repartidas entre 3 comensales. Tocan a 2 porciones y sobran otras 2 porciones.
Nota: se puede decir tanto «divisible entre» como «divisible por». Lo encontraréis expresado de ambas formas en muchos sitios
Ver si un número es divisible entre otro cuando los números son pequeños es relativamente sencillo. Sin embargo, cuando tenemos números más grandes resulta algo más complicado.
Para facilitar esta labor surgen los criterios o reglas de divisibilidad.
Criterios o reglas de divisibilidad
Los criterios o reglas de divisibilidad son unas «reglas» que empleamos para saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de tener que realizar la división.
Son de gran utilidad ya que, por ejemplo, nos ayudan a encontrar con facilidad los divisores de un número, nos sirven especialmente cuando tenemos que descomponer números en factores primos, o para saber si un número es primo o compuesto, para simplificar fracciones, etc.
A continuación vamos a ir viendo los criterios de divisibilidad más utilizados, y otros que probablemente no encontraréis un los libros de texto.
