Solución a ¿Cuántas gallinas y ovejas hay?

El 24 de Junio de 2014 propuse el siguiente acertijo o problema:

“Un granjero envió a su hija y a su hijo a contar la cantidad de gallinas y de ovejas que tenía. Cuando volvieron, el hijo le dijo que había contado 80 cabezas, y la hija le dijo que había contado 280 patas. ¿Cuántas gallinas y ovejas tiene el granjero si entre las ovejas se encontraba también su perro y entre las gallinas había dos patos?”

Ya han dado la solución correcta varias personas, y supongo que otras muchas más la habrán obtenido aunque no la hayan compartido en el blog. Igualmente, otras tantas no habrán dado con la solución correcta o quizás no hayan visto cómo plantearlo.

Como de lo que se trata es de que todo el mundo sepa resolver este tipo de problemas, vamos a ver detenidamente la resolución.

Como datos tenemos el número de cabezas totales, 80 cabezas, y el número de patas totales, 280 patas.

También sabemos que tanto las ovejas como el perro tienen 1 cabeza y 4 patas cada una, y que tanto las gallinas como los patos tienen 1 cabeza y 2 patas cada una.

Nuestras incógnitas son el número de ovejas y el número de gallinas. Podemos llamar, por ejemplo,  x al número total de ovejas e y al número total de gallinas.

Así, si nos fijamos en las cabezas, las cabezas de las x ovejas, las y gallinas, el perro y los 2 patos tienen que sumar 80; Lo planteamos como una ecuación de incógnitas x e y:

que podemos simplificar, quedando:

Tenemos, por tanto, dos incógnitas (x e y) y una ecuación. Así que, para poder resolver el problema, necesitamos otra ecuación más. La otra ecuación la obtenemos teniendo en cuenta las patas, pues las patas de las ovejas (4 cada una), las gallinas (2 cada una), el perro (4 patas) y los dos patos (2 patas cada uno) tienen que sumar 280:

simplificando:

y, dividiendo a cada lado de la igualdad entre 2:

Resumiendo, tenemos el siguiente sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

Ya tan solo queda resolver dicho sistema y obtener así los valores de x y de y, número total de ovejas y número total de gallinas respectivamente.

Podemos resolverlo, por ejemplo, por reducción, restando a la segunda ecuación la primera, obteniendo:

y, sustituyendo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, obtenemos el valor de y:

Por lo tanto, podemos concluir diciendo que el granjero tiene 59 ovejas y 18 gallinas, como muy bien habían dicho algunas personas.

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1 comentario en “Solución a ¿Cuántas gallinas y ovejas hay?

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