¿Cuánto mide la cuerda?

Aún estamos con la resaca de Cheryl y su problema (bueno, en realidad el problema era para los participantes de las últimas SASMO, Singapore and Asian Schools Math Olympiads) y ya está empezando a correr por las redes otro problema, aunque este tiene bastante más tiempo que el de Cheryl.

Hace 20 años la Asociación Internacional para la Evaluación de Logros Académicos (IEA), propuso tres problemas a estudiantes de secundaria de matemáticas avanzadas de 16 países de todo el mundo. El que vamos a ver es uno de esos tres problemas. Y preguntaréis ¿por qué vamos a ver ese en concreto? Pues porque resulta que sólo supo resolverlo el 10% de los estudiantes (el 4% en Estados Unidos y el 24% en Suecia).

La asociación explicó que este problema fue el que más gente falló, y no porque sea especialmente difícil de resolver, todo lo contrario. De hecho a penas se resuelve en dos líneas y con algo muy familiar para todas y todos (que hayan recibido una enseñanza matemática por supuesto, pero básica).

Yo no lo compararía con el problema de lógica del cumpleaños de Cheryl que, si bien es cierto que tienen en común que no hace falta saber muchas matemáticas para resolverlos, éste se basa más bien en tener lo que se suele llamar una “idea feliz”.

El enunciado del problema es el siguiente:

“Una cuerda está enrollada de forma simétrica alrededor de una barra circular. La cuerda da la vuelta exactamente cuatro veces alrededor de la barra, que tiene una circunferencia de 4 centímetros y una longitud de 12 centímetros. Averigua cuánto mide la cuerda”.

cuerda

Tomaros el tiempo que necesitéis para resolverlo.

¿Lo tenéis ya?

Bueno, si no es así no hay problema, vamos a ver como podemos resolverlo.

Si no quieres ver la SOLUCIÓN aún…. ¡no sigas bajando!

Antes de empezar, quiero hacer hincapié en un dato que puede resultar problemático (valga la redundancia, pues estamos intentando resolver un problema) si no se interpreta correctamente, y es que el texto del problema dice: “…alrededor de la barra, que tiene una circunferencia de 4 centímetros…”. La circunferencia, que es una curva del plano cuyos puntos equidistan de otro interior a ella llamado centro, es el perímetro del círculo y, como tal, es una longitud. Cuando nos dan el valor de la circunferencia (como en este problema), nos están dando su longitud. Si hubieran querido darnos el diámetro o el radio, tendrían que haberlo especificado.

He querido hacer hincapié en esto porque, si se considera erróneamente este dato, obviamente nos va a llevar a otros resultados diferentes al que estoy exponiendo y justificando aquí. Por desgracia, es algo muy común confundir circunferencia y círculo e incluso considerarlos como lo mismo y, dado que el círculo se suele definir normalmente por su diámetro o por su radio, puede ocurrir que se interprete de forma incorrecta el dato que nos están dando de la circunferencia.

Visto esto, vayamos con nuestro problema.

Así a primera vista se antoja algo complicado obtener la longitud de la cuerda tal y como está, dando vueltas alrededor de un cilindro. Pero aquí es donde viene la “idea feliz”.

El problema se vuelve mucho más sencillo si pensamos en la barra como en una superficie plana.

Es como si tuviéramos el cartón con forma de cilindro en el que está enrollado el papel del baño (el cartón de dentro de un “rollo de papel higiénico”, así se dice en España) o de un rollo de papel de cocina, y lo cortásemos longitudinalmente. Al abrirlo nos quedaría un rectángulo.

En nuestro caso nos quedaría así:

¡Mucho mejor ahora!

Quiero que quede claro que no se trata para nada de una proyección, es decir, no es una vista de la figura, sino el desarrollo total de la superficie lateral del cilindro. Por si acaso aún con la explicación que he dado no ha quedado lo suficientemente claro, veámoslo como la clásica ficha para recortar y construir un cilindro:

Bien, volvamos a la resolución de nuestro problema y, concretamente, a nuestro rectángulo.

Si nos fijamos en la parte inferior de la izquierda, podemos ver que se ha formado un triángulo rectángulo.

Y, una vez más, como ocurría con el problema del televisor y con otros tantos problemas, nuestro gran salvador es… ¡El Teorema de Pitágoras!

¡Sigue a matematicascercanas en twitter!

Recordemos lo que decía el Teorema de Pitágoras: “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

Sabemos que uno de los catetos mide 4 centímetros y el otro 3 centímetros (es una cuarta parte de la longitud total de la barra, 12 cm). La hipotenusa es la longitud de una vuelta de la cuerda.

Así que, aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa, es decir, la longitud de una vuelta de la cuerda.

(Observad, que de las dos soluciones, positiva y negativa, que tiene la ecuación cuadrática anterior (ecuación de segundo grado), tan solo he considerado al final la positiva (5 cm), porque como se trata de una longitud, no tiene sentido la solución negativa.)

Sabiendo ya la longitud de la cuerda en una vuelta, podemos calcular la longitud total de la cuerda simplemente multiplicando por 4, ya que son cuatro vueltas las que da la cuerda alrededor de la barra.

Viéndolo así no parece nada complicado ¿verdad? Cabe preguntarse por qué fueron tan malos los resultados en la prueba con este problema. Lo cierto es que, por desgracia, se les enseña a los alumnos y alumnas conceptos, fórmulas y procedimientos de cálculo… pero no a que aprendan a pensar de forma creativa y a que utilicen su imaginación, y las matemáticas tienen mucho más de esto último que de lo anterior.


 

Suscríbete al blog por correo electrónico

Suscríbete de forma totalmente gratuita al blog y sé el primero en enterarte de las novedades.

Únete a otros 1.639 suscriptores

Advertisements

40 comentarios en “¿Cuánto mide la cuerda?

  1. Como dice Liza, el perímetro de la elipse que es de 6,2 multiplicado por 4, resultado 24,8. el problema o estas mal explicado o esta mal resuelto a vosotros de ver!

    • Cipri, como ya han comentado algunas personas, el argumento de Liza estaba equovocado, pues había interpretado que se había hecho una proyección, y no es así.

      En la explicación que doy en la entrada indico que la imagen del rectángulo sobre la qud se trabsjo no se trata de una proyección, sino del desarrollo plano de la superficie lateral del cilindro, y el dado de 4 es la longitud de la circunferencia, que se corresponde con la altura del rectángulo en el desarrollo plano.

      En el texto del artículo lo tienes explicado.

      Un saludo.

  2. Hola!
    Les paso a comentar como lo resolví.
    El giro de la cuerda en torno al cilindro tiene forma del movimiento de una hélice. Por lo tanto, siendo la ecuación paramétrica de una hélice:
    x=r*Sin(t)
    y=r*Cos(t)
    z=k*t

    Debemos encontrar k y r.
    El radio r será 2/pi, dado que el enunciado nos dice que el perímetro del cilindro es 4cm.
    Ahora, sabiendo dos cosas:
    Paso= 2pi*k
    y que el Paso de la hélice es básicamente la distancia que recorre un punto de la misma hasta llegar a la misma posición y sentido desplazada. Como da cuatro vueltas la cuerda en 12cm, el Paso sera 3cm
    Entonces:
    3=2pi*k
    Por lo tanto:
    k=3/(2pi)

    Si reemplazamos en la ecuación paramétrica:

    x=2/pi *Sin(t)
    y=2/pi *Cos(t)
    z=3/(2pi) * t

    Ahora para encontrar la longitud de la cuerda podemos integrar entre “a” y “b” la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las derivadas parciales de las componentes de la ecuación parametrizada de la hélice.
    Donde “a” y “b” dependerán del parámetro t. Pero sabiendo que “z” varia entre 0 y 12cm podemos:
    Si z=0 => t=0
    Si z=12 => t=8pi

    Al realizar la integral entre los extremos mencionados, nos dará un resultado de 20cm.

    Saludos!

  3. Parte de la dificultad del problema esta en el enunciado, ya que mucha gente por desconocimiento no sabe que la circunferencia es el perímetro del circulo, yo mismo al intentar resolverlo tome los 4 cm como diámetro erróneamente, y pensaba que estaba mal resuelto, solo cuando lo leí detenidamente de nuevo me di cuenta de mi error, pero no hubiera estado mal hablar de “perímetro” en vez de “circunferencia” 😉
    La solución es correcta y esta muy bien explicada.

  4. CRIVARO
    Felicitaciones por este tipo de problemas,nos ponen a pensar y ponen en juego la creatividad de los estudiantes y educadores. Es correcta y creativa la solución.

  5. En todo caso debería decir “una circunferencia de 4cm de DIÁMETRO” y entonces si, pero la proyección que hacen no es SIMÉTRICA. Porque de un lado baja y del “lado que no vemos” la sube recta. Pero eso no lo puedo explicar mejor sin dibujar.

    • Liza, en la resolución no se hace ninguna proyección, se desarrolla toda la superficie del cilindro en el plano como un rectángulo.
      Es correcta.

  6. Gente. Por favor, si miro el cilindro de “costado” lo que veo como lados del RECTÁNGULO que se forma son la altura del cilindro y EL DIÁMETRO de la base circular. 4=pi*DIÁMETRO así que D=4/pi, el problema está MAL resuelto.

    • Liza, te estas equivocando.
      La resolución que se da aquí està bien.
      Léela bien. Si te fijas en ningún momento se habla de proyección, ese es tu error.
      Lo primero es que el dato que se da es la longitud de la circunferencia (4 cm).
      Y lo segundo, el rectángulo que está dibujado sería el resultante de considerar toda la superficie del cilindro. Es decir, como explica la resolución que viene aquí, sería como hacer un corte longitudinal y “abrir” la superficie del cilindro (lo explica mejor el blog) y por eso el lado del rectangulo queda de 4 cm, porque es justo la longitud de la circunferencia.

      Está todo bien en esta resolución. Léela y lo verás.

      Saludos

  7. Francisco, he visto lo que vas diciendo por ahí en otro foro en el que estás.
    Espero que se te haya caído ya la cara de vergüenza por enorme metedura de pata que has tenido y la forma en la que lo has hecho. Creo que necesitas más humildad y ller mejor las cosas antes de aventurarte a criticar algo.
    Estás muy lejos de la calidad que tiene este blog.

  8. Hombre, que uno de nosotros se equivoque… pues si, pero siendo el autor el que da la solución… pues creo que tenemos el mismo problema, no leemos lo suficiente antes de hablar.

  9. Esto esta mal solucionado, pues una forma rápida para indicar que no es 20 el resultado final, se ve al analizar que el perímetro del circulo de la base del cilindro debería ser a lo menos : 4π , eso te da 12,56 y solo para dar una sola vuelta al cilindro, evidentemente acá daría a lo menos unas 4, pero seria mucho mayor a esa cifra pues la cuerda va inclinada

    • Hola Francisco. El problema dice: “tiene una circunferencia de 4 centímetros”. El dato que se da es la longitud de la circunferencia, no el diámetro como has interpretado tú.
      Está bien resuelto.
      Un saludo.

    • Francisco, lee bien el problema. Lo que dan es la longitud de la circunferencia. En ningún sitio dice nada de diámetro ni de radio del círculo.
      Tu planteamiento está equivocado.
      Deberías ser algo más precavido a la hora de decir las cosas, porque ahora te toca rectificar y reconocer tu error.
      La redolución dada aquí es muy buena, como todas las que dan en este blog.

    • Tremenda “cagada” la tuya Francisco. Y encima vas por ahí en otros foros criticando la solución.
      Deberías estar pidiendo disculpas y contándoles a todos tu error y tu poca humildad.
      En serio te moriste de la risa? Eso es lo que deben estar haciendo muchos con lo que digiste.
      Y te digo que no es tanto porque te equivocases, porquer eso le pudo pasar a cualquiera, sino por la forma en que quisiste criticar sin pensarlo y con burla algo que estaba perfecto.

    • Francisco, si tuvieses clara la definición de circunferencia (que es a lo que se refiere el texto del problema) y la diferencia entre circunferencia y círculo, no habrías cometido ese error.

      La circunferencia, que es una curva del plano cuyos puntos equidistan de otro interior a ella llamado centro, es el perímetro del círculo y, como tal, es una longitud. Cuando nos dan el valor de la circunferencia (como en este problema) nos están dando su longitud.

      Si hubieran querido darnos el diámetro, como has interpretado tú, tendrían que haberlo especificado.

      Como tienes Francisco ese error de concepto de entender circunferencia y círculo como la misma cosa, gran error, y el círculo se suele definir bien por su radio o bien por su diámetro, directamente sin leer bien el problema y sin tener los conceptos claros te has tirado a la piscina sin agua y gritando que eres un excelente nadador y que el monitor de natación no sabe nadar.

      Igual te vendrían bien unas clases de natación antes de saltar a según que piscina y, cuando menos, asegurarte bien de que tiene agua.

      Saludos.

      Celso

    • Mirza ¿cuál es la solución que propones tú?
      No creo para nada que esté mal. Todo lo contrario, es perfecta igual que la explicación.

    • Mirza, supongo que ya te diste cuenta de tu equivocación. Lo menos es rectificar y pedir disculpas por lo que dijiste.
      Obviamente la solución propuesta en este sitio es la correcta.

    • Es cierto, está mal porque usa 4 como diámetro en vez de circunferencia. La circunferencia es 4=pi*diámetro, y el valor que se proyecta es el diámetro. Además está mal porque dice que se enrolla “simétricamente” alrededor del cilindro, si vemos la proyección del cilindro veríamos algo como esto IVVVVI. La respuesta correcta se obtiene al hallar la circunferencia de una elipse y multiplicarla por 4.

      • Liza, lo que dice el blog está perfecto.
        El problema es que llegais con una idea preconcebida y no os paráis a leer bien lo que os están explicando.
        Si lo lees bien te darás cuenta de tu error.

        Ana Maria

      • gabriel, si lees bien la resolución que se da aquí verás que se está considerando toda la cuerda, no falta nada. No tienes razón en lo que dices.
        Tu error es que piensas que el rectángulo que aparece dibujado es una proyección, y no es así. El blog lo explica perfectamente.
        Si te fijas en ningún momento se habla de proyección, ese es tu error.
        Lo primero es que el dato que se da es la longitud de la circunferencia (4 cm).
        Y lo segundo, el rectángulo que está dibujado sería el resultante de considerar toda la superficie del cilindro. Es decir, como explica la resolución que viene aquí, sería como hacer un corte longitudinal y “abrir” la superficie del cilindro (lo explica mejor el blog) y por eso el lado del rectangulo queda de 4 cm, porque es justo la longitud de la circunferencia.
        El rectàngulo que aparece dibujado con los cuatro trozos de cuerda (uno para cada vuelta completa) contempla ya para cada vuelta la vuelta de alante y la vuelta de atrás, como le llamas.

  10. Pues si, es una pena el bajo porcentaje de los que lo resolvieron. Pero seguro que si se lo ponen a los alumnos de 1º de mecánica, lo resuelven el 80%. (espiral, rosca, hilos….)
    En cuanto a esto:
    “pero no a que aprendan a pensar de forma creativa y a que utilicen su imaginación, y las matemáticas tienen mucho más de esto último que de lo anterior”
    Estoy totalmente de acuerdo. Es la razón por la que abandone el sistema educativo.

  11. Una explicación perfecta.
    Un problema muy intersante para verlo con mis alumnos de la ESO.
    Gracias por compartir tantas cosas interesantes y por las excelentes explicaciones.

  12. ¡Eres incansable!
    Yo no he tenido que pensar nada porque reconozco que ya me lo sabía, pero, como siempre, lo has explicado estupendamente y te felicito.
    Un saludo

  13. Pingback: Bitacoras.com

Deja tu comentario aquí... ¡Gracias por aportar!

A %d blogueros les gusta esto: