Una fracción, por ejemplo:
se puede entender como parte de la unidad…
… como parte de una determinada cantidad…
… o como cociente de dos números…
y esto es algo que se entiende sin problema.
Como también se suele aprender sin mucha dificultad como dividir dos fracciones.
Seguro que has resuelto más de una vez una ecuación polinómica de segundo grado de una variable, también conocida como ecuación cuadrática, cuya expresión general es:
donde a, b y c son los coeficientes y x es la variable.
En la cual necesariamente a≠0, pues de lo contrario el primer término se anularía y ya no sería una ecuación de segundo grado.
Para hacerlo, habrás utilizado la famosa fórmula, que muy probablemente se habrá quedado grabada en tu cabeza, de…
¡Bendita expresión que simplifica tanto las cosas!
Pero…
¿Sábes de dónde sale?
Como dice el título de esta entrada, no es que esté mostrando sorpresa o una especial admiración hacia el número tres (que también podría ser, ya que es por ejemplo, entre otras muchas cosas, el primer número primo impar y el primer número primo de Fermat).
Como esto va de matemáticas, más bien me estoy refiriendo a su factorial.
Y es que, cuando en una expresión matemática aparece un signo de exclamación (!) después de un número, está indicando la operación de factorial sobre ese número. En nuestro caso concreto, 3! es el factorial de 3 ó 3 factorial (se puede decir de las dos maneras).
Pero…
¿Qué es el factorial?
Se puede explicar y demostrar el Teorema de Pitágoras de muchas maneras. Algunas de ellas las hemos visto en el blog (6 demostraciones geométricas del Teorema de Pitágoras en 1 minuto o Demostración ¡hidráulica! del Teorema de Pitágoras).
En esta ocasión os traigo una interesante y sencilla animación, realizada por GENIAL, en la que se utilizan piezas de LEGO para hacerlo.
Imagen capturada de la animación.
Espero que os guste y que os sea útil…
¿Es o no importante saber de porcentajes?
Quienes sigan el blog desde hace ya un tiempo sabrán que dimos respuesta a esta pregunta con un sencillo ejemplo en una entrada a la que llamé…
¿Por qué hay que saber de porcentajes?
… y la respuesta es SÍ, más que todo para que no nos engañen con facilidad.
Así es que tenemos que saber calcular porcentajes y también interpretarlos. Y eso es lo que pretende esta entrada.
Si consideras que ya dominas suficientemente el cálculo de porcentajes…
¡No te marches aún!
Esta entrada termina con una animación de 2 minutos titulada
«SI 100 PERSONAS VIVIERAN EN LA TIERRA»
que creo que te gustará bastante y es una auténtica interpretación de porcentajes.
Imagen capturada de la animación.
¡Qué nadie se asuste con esto de los binomios conjugados, que os va a sonar y mucho!
En una entrada anterior os hablaba del cuadrado del binomio, una de esas identidades notables que aparecen inesperadamente en nuestra vida estando en clase de matemáticas:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Y vimos su demostración gráfica…
En esta ocasión vamos a ver otro «clásico» que acompaña en esa aparición estelar y repentina al cuadrado del binomio: el producto de binomios conjugados.
¿Binomios qué?
Espera, mejor así…
Supón que tenemos las dos fracciones siguientes…
Si te pregunto que cuál de ellas es mayor seguro que no tendrías problema en responderme que la de la derecha, pues teniendo las dos el mismo denominador (cinco) el numerador es mayor en la segunda (tres es mayor que dos). De cinco partes en la de la derecha estamos considerando tres, mientras que en la de la izquierda consideramos sólo dos.
Si ahora te pregunto lo mismo con estas otras dos fracciones…
Me responderás rápidamente que la de la izquierda, ya que teniendo ambas fracciones el mismo numerador (tres), el denominador es menor en la de la izquierda (cuatro es menor que cinco). Es decir, en la de la izquierda son tres partes de cuatro, mientras que en la de la derecha son tres partes pero de cinco y, por tanto, menos cantidad.
Y ahora ¿Cuál de estas dos fracciones es mayor?
Quizás dudes un poco, porque la de la derecha tiene el numerador mayor (cinco es mayor que cuatro) pero también tiene el denominador mayor (seis es mayor que cinco) y no parece estar muy claro qué pesa más de las dos cosas para considerar si es mayor o menor que la de la izquierda.
Pero entonces, para salir de dudas, decides dibujarlo, porque dibujar las cosas suele ayudar mucho en matemáticas
y compruebas que el área sombreada es mayor en el dibujo de la derecha, lo que aprecias mejor aún fijándote en la parte no sombreada (como si estuvieses comparando porciones de pizza que faltan)
(con hambre de por medio no te cabe la menor duda de que en la de la derecha queda más pizza)
con lo que contestas acertadamente que la fracción de la derecha es mayor que la de la izquierda.
Bien, sabías que lo de dibujarlo te podía ayudar.
Pero ahora te planteo estas otras dos fracciones
y te pregunto lo mismo ¿cuál es mayor?
Como dice el título de la entrada, vamos a ver un truco para calcular el cuadrado de números terminados en cinco, como por ejemplo 252, 552…
El truco no es más que una forma rápida de obtener el resultado sin necesidad de tener que realizar la multiplicación completa del número en cuestión por si mismo. Con este truco tardamos apenas 3 segundos en calcular el cuadrado.
¿Y en qué consiste?
Lo único que hay que hacer es multiplicar el número que está delante del cinco (por ejemplo, en 152 sería el 1, y en 1052 sería el 10) por el número que le seguiría, y al resultado añadirle a la derecha veinticinco.
Así, en el caso de 152 se multiplicaría 1 por 2 y se añadiría 25, quedando 225; en 1052 multiplicaríamos 10 por 11 y añadiríamos 25, obteniendo así 11.025.
Pero mejor te lo cuento todo en el siguiente vídeo, y además te desvelo el secreto de este truco, es decir, por qué funciona:
¡Hipotenusa! … bonita palabra.
La palabra hipotenusa, como no podía ser de otra manera, viene del griego, Hypoteinousa (ὑποτείνουσα), formada del prefijo ὑπο (hypo = debajo de) el verbo τείνο (teino = yo tiro) y -ουσα (-ousa, que indica un participio femenino). El participio de hypoteino (tensar fuertemente), significa entonces «fuertemente tensada».
La razón del nombre es la siguiente. Los primeros geómetras griegos eran, como su nombre indica, medidores de la tierra. Trazaban figuras geométricas ayudados por estacas (κέντρον kéntron, de κεντέω kentéo perforar; Kentrón es también el punto “perforado en la tierra” donde se fija el compás, y también el centro de una circunferencia) que se clavaban en el suelo.
A estas estacas se fijaban cuerdas. Con tres estacas se formaba un triángulo rectángulo si se tensaban las tres cuerdas y las estacas estaban colocadas adecuadamente para formar un ángulo recto. Primero se tensaban las cuerdas para formar los catetos. La hipotenusa se obtenía tensando fuertemente una cuerda entre los puntos extremos de los catetos marcados con estacas.
Bueno, ahora que ya sabemos de dónde parece venir la palabra hipotenusa, vamos a darle un toque de humor a esta entrada y, si me permitís, un poco friki.
Uno de los objetivos de este blog es, aparte de entretener, como su propio nombre indica, acercar las matemáticas a aquellas y aquellos que lo visitan.
En mi humilde opinión, las matemáticas no deben ser ese cúmulo de conceptos, fórmulas y ejercicios mecánicos con los que se bombardea a los estudiantes en los colegios e institutos. Todo eso lo único que hace es alejarlas de la gente.
No voy a entrar en ese tema ahora, que estoy seguro que daría para muchas líneas de comentarios, y sí quiero hacer hincapié en la importancia que tiene el saber algunas cosas, para poder desenvolvernos con normalidad en nuestro día a día y, sobre todo, para que no nos engañen.
Una de esas cosas que se debería conocer lo mejor posible son los porcentajes.
Y nos podríamos preguntar, como dice el título de esta entrada… ¿Por qué hay que saber de porcentajes?
En nuestra aventura de conocimiento que es la escuela, en esa travesía que hacemos por la senda de las matemáticas, que en ocasiones parece más un laberinto que un camino, llega un momento en que viajamos por el… mundo de la geometría.
Primero aparecen las figuras geométricas y aprendemos a distinguir entre triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos y… ¡óvalos! Y además hacemos dibujos con ellos… la cabeza es un círculo, los brazos y las piernas son rectángulos, los pies triángulos…
Después aparecen otras figuras como los romboides, los trapecios, los trapezoides (que son algo así como los que no son nada de todo lo de antes)… hablamos de polígonos, y hacemos clasificaciones de todos ellos distinguiendo entre triángulos, cuadriláteros (y dentro de éstos paralelogramos, trapecios…)… aparecen los polígonos regulares de más de cuatro lados… y empezamos a calcular áreas y perímetros de todos ellos.
En fin, que parece que la cosa se va complicando, sobre todo si nos hemos perdido por el camino.
En ese mundo que se va levantando a nuestro alrededor la figura de los triángulos toma un papel destacado y, además, decimos que hay triángulos equiláteros, isósceles, escalenos, y también acutángulos, obtusángulos y… ¡rectángulos!
Sí… ¡rectángulos! (con exclamación) porque nos van a dar mucho juego. Buena culpa de ello la tiene la aparición estelar de… ¡El Teorema de Pitágoras!
Ese que dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo, sobre el que está tumbado el hipopótamo del dibujo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
c2 = a2 + b2
Traducción:
(Banco de sangre)
¡Eso es imposible! ¡No puedo tener un grupo sanguíneo negativo!
– Vera, a ver si sabes decirme qué es lo que voy a dibujar…
– ¡Es un punto!
– Espera, que aún no he terminado de dibujar…
La REGLA DE TRES o REGLA DE TRES SIMPLE es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita, estableciendo una relación de proporcionalidad entre todos ellos.
Es decir, lo que se pretende con ella es hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.
El tan conocido Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Cada uno de los sumandos representa el área de un cuadrado de lados c, a y b, respectivamente. Así que, la expresión anterior se puede plantear en términos de áreas de la forma siguiente:
¿Cuánto vale la siguiente suma?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = ________
Para responder a la pregunta, lo primero que se nos puede ocurrir es ir sumando uno a uno cada número; En total realizaríamos 99 sumas para llegar a la solución, mentalmente o con la ayuda de una calculadora (en general, hay que reconocer que nos cuesta bastante hacer cálculos mentales).
Antes de seguir, ya sé que muchas y muchos habrán dicho:
¡Qué barbaridad!
¡No hace falta hacer tantas sumas!
¡Con lo que yo sé de matemáticas lo hago mucho más rápido!
Cuento con ello, pero como no todo el mundo tiene porque saberlo y, precisamente, de eso trata en buena parte este blog, de «acercar» lo que se tenía muy lejano o simplemente no se conocía, permitidme que no desvele tan rápido el misterio que tantos ya conocen.
Por cierto, ya que estás, antes de seguir leyendo no dejes de suscribirte al canal de YouTube de MatematicasCercanas si no lo has hecho aún.
En 1786, en una clase de Aritmética de tercero de primaria, un maestro rural llamado Büttner pidió a sus alumnos que hallaran la suma de los 100 primeros números (la pregunta con la que hemos empezado esta entrada).
Un alumno de esa clase llamado Carl Friedrich Gauss, que entonces tenía 9 años, halló la respuesta correcta en muy poco tiempo, diciendo «Ligget se’» («ya está»).
Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.
Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto (s. IV a. C) acerca de la altura de la Pirámide de Keops, cuando ya las pirámides rondaban los 2.000 años de edad, y éste respondió con un método de lo más ingenioso para medir dicha altura.
