Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes que tienen dichos números.

Por ejemplo, el Máximo Común Divisor de 24 y 36 es el mayor de los divisores que tienen ambos números en común.

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Como se puede observar, de los divisores que tienen en común ambos números (1, 2, 3, 4, 6 y 12), el mayor de ellos es 12. Por lo tanto:

M.C.D. (24 , 36) = 12

El Máximo Común Divisor de varios números se necesita en muchas ocasiones para resolver problemas, para extraer factor común en una expresión, para simplificar fracciones en un solo paso, y para más situaciones, por lo que es muy importante saber calcularlo bien.

A la hora de calcularlo, en lugar de tener que calcular previamente todos los divisores de los números como hemos visto en el ejemplo anterior, es mucho más útil hacerlo a partir de la descomposición en factores primos de dichos números.

En el siguiente vídeo explico qué es el Máximo Común Divisor y cómo se calcula a partir de la descomposición en factores primos:

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Descomposición en factores primos de un número

La descomposición de un número en factores primos, también llamada descomposición factorial, consiste en descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos.

Por ejemplo, 60 descompuesto en factores primos sería:

60 = 22 · 3 · 5

La descomposición en factores primos se utiliza para muchas cosas, entre otras: para simplificar expresiones numéricas, para hacer operaciones con potencias, para extraer factores de una raíz y, muy importante, para el cálculo del Máximo Común Divisor (M.C.D.) y el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de varios números.

En el siguiente vídeo explico en qué consiste la descomposición en factores primos con más detalle, para qué se utiliza y, principalmente, cómo se hace:

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Volumen y capacidad. Conversión de unidades de volumen y capacidad.

Volumen y capacidad son dos magnitudes diferentes pero directamente relacionadas.

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa, y se mide en metros cúbicos o en cualquiera de sus múltiplos y submúltiplos.

La capacidad es una magnitud que indica lo que cabe dentro de un cuerpo o recipiente, y se mide en litros o en cualquiera de sus múltiplos y submúltiplos.

Tenemos tres relaciones directas entre volumen y capacidad, que son:

Podemos también hacer conversiones entre unidades de volumen y entre unidades de capacidad, de manera que, utilizando estas relaciones directas, podemos convertir cualquier medida de volumen en una medida de capacidad equivalente y cualquier medida de capacidad en una medida de volumen equivalente.

En el siguiente vídeo lo explico todo con detalle y con varios ejemplos resueltos.

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Forma compleja e incompleja en unidades de volumen: Cómo pasar de una a otra.

Una medida de volumen se puede expresar de dos tipos de formas diferentes: Utilizando varias unidades de medida de volumen, en cuyo caso decimos que está escrita en forma compleja, o empleando una única unidad de medida de volumen, en cuyo caso decimos que está escrita en forma incompleja.

En el siguiente vídeo os cuento todo esto, y también explico cómo pasar una medida de volumen que esté escrita de forma compleja a forma incompleja, y de forma incompleja a forma compleja.

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Conversión de unidades de volumen

En el Sistema Métrico Decimal, la unidad principal de medida de volumen es el metro cúbico, m3.

Además del metro cúbico, se utilizan algunos múltiplos y submúltiplos del mismo.

Una o varias medidas de volumen nos pueden venir dadas en distintas unidades, y es fundamental saber realizar la conversión de unas a otras.

En el siguiente vídeo os hablo precisamente de todo esto: primero de las principales unidades de medida de volumen utilizadas, y después de cómo se realiza el cambio o conversión de unas a otras.

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Forma compleja e incompleja en unidades de superficie: Cómo pasar de una a otra.

Una medida de superficie se puede expresar de dos tipos de formas diferentes: Utilizando varias unidades de medida de superficie, en cuyo caso decimos que está escrita en forma compleja, o empleando una única unidad de medida de superficie, en cuyo caso decimos que está escrita en forma incompleja.

En el siguiente vídeo os cuento todo esto, y también explico cómo pasar una medida de superficie que esté escrita de forma compleja a forma incompleja, y de forma incompleja a forma compleja.

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Conversión de unidades de superficie en el Sistema Métrico Decimal

En el Sistema Métrico Decimal, la unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado, m2.

Además del metro cuadrado, se utilizan algunos múltiplos y submúltiplos del mismo.

Por lo tanto, una o varias medidas de superficie nos pueden venir dadas en distintas unidades, y es fundamental saber realizar la conversión de unas en otras.

En el siguiente vídeo os hablo precisamente de todo esto: primero de las principales unidades de medida de superficie utilizadas, incluidas también algunas unidades agrarias, y después de cómo se realiza el cambio o conversión de unas a otras.

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Forma compleja e incompleja en unidades de capacidad: Cómo pasar de una a otra.

Una medida de capacidad se puede expresar de dos tipos de formas diferentes: Utilizando varias unidades de medida, en cuyo caso decimos que está escrita en forma compleja, o empleando una única unidad de medida, en cuyo caso decimos que está escrita en forma incompleja.

En el siguiente vídeo os lo cuento, y también explico cómo pasar una medida de capacidad que esté escrita de forma compleja a forma incompleja, y de forma incompleja a forma compleja.

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Conversión de unidades de capacidad en el Sistema Métrico Decimal

En el Sistema Métrico Decimal, la unidad principal de medida de capacidad es el litro, L.

Además del litro, se utilizan algunos múltiplos del mismo y, sobre todo, sus submúltiplos.

Por lo tanto, una o varias medidas de capacidad nos pueden venir dadas en distintas unidades, y es fundamental saber realizar la conversión de unas en otras.

En elsiguiente vídeo os hablo precisamente de todo esto: primero de las principales unidades de medida de capacidad utilizadas, y después de cómo se realiza el cambio o conversión de unas a otras.

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Forma compleja e incompleja en unidades de masa: Cómo pasar de una a otra.

Una medida de masa se puede expresar de dos tipos de formas diferentes: Utilizando varias unidades de medida, en cuyo caso decimos que está escrita en forma compleja, o empleando una única unidad de medida, en cuyo caso decimos que está escrita en forma incompleja.

En el siguiente vídeo os lo cuento, y también explico cómo pasar una medida de masa que esté escrita de forma compleja a forma incompleja, y de forma incompleja a forma compleja.

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Conversión de unidades de masa en el Sistema Métrico Decimal

En el Sistema Métrico Decimal, la unidad principal de medida de masa es el kilogramo, kg.

Además del kilogramo, se utilizan algunos múltiplos del mismo y, sobre todo, sus submúltiplos.

Por lo tanto, una o varias medidas de masa nos pueden venir dadas en distintas unidades, y es muy importante saber realizar la conversión de unas en otras.

En en siguiente vídeo os hablo precisamente de todo esto: primero de las principales unidades de medida de masa empleadas, y después de cómo se realiza el cambio o conversión de unas a otras.

Forma compleja e incompleja en unidades de longitud: Cómo pasar de una a otra.

Una medida de longitud en el Sistema Métrico Decimal se puede expresar de dos formas diferentes: Utilizando varias unidades de medida, en cuyo caso decimos que está escrita en forma compleja, o empleando una única unidad de medida, en cuyo caso decimos que está escrita en forma incompleja.

En el siguiente vídeo os lo cuento, y también explico cómo pasar una medida de longitud de forma compleja a forma incompleja, y de forma incompleja a forma compleja.

Conversión de unidades de longitud en el Sistema Métrico Decimal

En este vídeo del recién estrenado canal de YouTube de MatematicasCercanas os hablo de las principales unidades de longitud que se utilizan en el Sistema Métrico Decimal, y explico cómo realizar fácilmente la conversión de unas unidades a otras a través de varios ejemplos.

Ejes de coordenadas o ejes cartesianos en el plano

Para representar puntos del plano utilizamos lo que conocemos como ejes cartesianosejes de coordenadas.

¿Sabías que…? La denominación de «cartesiano» se introdujo en honor al matemático y filósofo francés René Descartes, (1596-1650) que fue quien utilizó este sistema por primera vez de manera formal.

Los ejes cartesianosejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares entre sí graduadas, una horizontal y otra vertical.

El eje horizontal o eje X se llama eje de abscisas, y el eje vertical o eje Y se llama eje de ordenadas.

Ambos ejes se cortan en un punto que se denomina origen de coordenadas, y que se representa con O.

Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones o cuadrantes, tal y como se muestra en la imagen anterior.

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Ecuaciones de primer grado

Aprenderemos a resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas, con paréntesis, con denominadores y con ambos a la vez.

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Criterios de divisibilidad

En esta entrada vamos a hablar primero del concepto de divisibilidad, es decir, qué quiere decir que un número sea divisible entre otro, y después vamos a ir viendo los distintos criterios o reglas de divisibilidad que podemos utilizar para saber si un número es divisible entre otro.

Como son muchos los criterios de divisibilidad que os voy a enseñar aquí, bastantes más de los que suelen aparecer en los libros de texto y otras páginas web, podéis acceder directamente al que os interese seleccionándolo en el siguiente índice de contenidos:

Concepto de divisibilidad.

Criterio de divisibilidad del 1.

Criterio de divisibilidad del 2.

Criterio de divisibilidad del 3.

Criterio de divisibilidad del 4.

Criterio de divisibilidad del 5.

Criterio de divisibilidad del 6.

Criterio de divisibilidad del 7.

Criterio de divisibilidad del 8.

Criterio de divisibilidad del 9.

Criterio de divisibilidad del 10.

Criterio de divisibilidad del 11.

Criterio de divisibilidad del 12.

Criterio de divisibilidad del 13.

Criterio de divisibilidad del 14.

Criterio de divisibilidad del 15.

Criterio de divisibilidad del 17.

Criterio de divisibilidad del 18.

Criterio de divisibilidad del 19.

Criterio de divisibilidad del 20.

Criterio de divisibilidad del 23.

Criterio de divisibilidad del 25.

Criterio de divisibilidad del 29.

Criterio de divisibilidad del 31.

Criterio de divisibilidad del 100.

Criterio de divisibilidad del 125.

Un par de propiedades muy útiles.



Divisibilidad

Que un número sea divisible entre otro quiere decir, en un lenguaje sencillo, que al dividir (división euclídea) el primero entre el segundo se obtiene de resto cero, es decir, que la división es exacta (sin decimales).

Expresado en un lenguaje más formal:

Un número entero b es divisible entre otro entero a (no nulo) si existe un entero c tal que:

b = a ⋅ c

Esto es equivalente a decir que el resto de la división euclídea es cero o simbólicamente que:

b − a ⋅ c = 0

Se suele expresar de la forma a ∣ b , que se lee: «a divide a b«, o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a«.

Por ejemplo, 12 es divisible entre 3, ya que 12 = 3·4; pero 12 no es divisible entre 5, pues no existe un entero c tal que 12 = 5·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 12 entre 5 no es cero.

Imaginemos, por ejemplo, que tenemos una pizza de 8 porciones.

Si somos 4 comensales, se trata de ver si tocamos a un número entero de porciones cada persona y que no sobre ninguna porción (que 8 sea divisible entre 4) o si, por el contrario, sobra alguna o algunas de las porciones y hay que partirla o partirlas en trozos más pequeños para que todos comamos lo mismo y no quede nada (que 8 no sea divisible entre 4).

En el caso de 8 porciones de pizza y 4 comensales, cada comensal tocaría a 2 porciones, y no sobraría ninguna. Si dividimos 8 entre 4 obtenemos de cociente 2 y de resto 0. Es decir, 8 es divisible entre 4.

8 porciones de pizza repartidas entre 4 comensales. Tocan a 2 porciones y no sobra ninguna.

Si tuviésemos 8 porciones de pizza y 3 comensales, para saber si cada comensal toca a un número de porciones exacto sin que sobre ninguna, tendríamos que ver si 8 es divisible entre 3.

En este caso la división no saldría exacta, por lo que 8 no sería divisible entre 3. Traducido a nuestras porciones de pizza, cada comensal tocaría a 2 porciones enteras (el cociente de la división de 8 entre 3), pero sobrarían otras dos porciones (el resto de la división de 8 entre 3) que habría que partirlas en trozos menores para poder repartirlas a partes iguales entre los 3 comensales.

8 porciones de pizza repartidas entre 3 comensales. Tocan a 2 porciones y sobran otras 2 porciones.

Nota: se puede decir tanto «divisible entre» como «divisible por». Lo encontraréis expresado de ambas formas en muchos sitios

Ver si un número es divisible entre otro cuando los números son pequeños es relativamente sencillo. Sin embargo, cuando tenemos números más grandes resulta algo más complicado.

Para facilitar esta labor surgen los criterios o reglas de divisibilidad.


Criterios o reglas de divisibilidad

Los criterios o reglas de divisibilidad son unas «reglas» que empleamos para saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de tener que realizar la división.

Son de gran utilidad ya que, por ejemplo, nos ayudan a encontrar con facilidad los divisores de un número, nos sirven especialmente cuando tenemos que descomponer números en factores primos, o para saber si un número es primo o compuesto, para simplificar fracciones, etc.

A continuación vamos a ir viendo los criterios de divisibilidad más utilizados, y otros que probablemente no encontraréis un los libros de texto.

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Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.

Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.

Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos«.

Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que el área de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetos respectivamente.

En el siguiente vídeo explico con detalle todo esto que hemos visto hasta ahora, y vamos a hacer varios ejemplos de aplicación del Teorema de Pitágoras para calcular uno de los tres lados del triángulo rectángulo cuando conocemos los otros dos lados:

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Ecuaciones de segundo grado

 

¡Cuidado con olvidarse del ± de la solución de las ecuaciones de segundo grado!

Como sabréis, una ecuación de segundo grado con una incógnita puede tener hasta dos soluciones o raíces (el número máximo de soluciones posibles de una ecuación nos lo da el grado de la ecuación). Si tiene infinitas soluciones entonces no se trata en realidad de una ecuación, sino de una identidad.

Tanto para las ecuaciones de segundo grado completas como para las ecuaciones de segundo grado incompletas en las que falta el término de la x, se utiliza en la solución el signo ± para obtener las dos soluciones que puede tener la ecuación.

Vamos a verlo en cada una de ellas.

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Hay una poderosa fuerza que te lleva al lado oscuro del trinomio cuadrado perfecto

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Puntos y rectas notables del triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.

Además, dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo que, como su propio nombre indica, tiene tres. Y, como es bien sabido, la suma de éstos es 180º.

Pues bien, sobre los triángulos hay todo un universo matemático de características, propiedades, teoremas y curiosidades. Pero no seré tan ambicioso en esta entrada (resultaría eterna) y me centraré en hablar de un grupo de rectas y puntos muy importantes, solo los más conocidos ya que hay muchos más, que se conocen como puntos y rectas notables del triángulo.

Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo veremos las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; Y, sobre sus puntos notables asociados: el circuncentro, el baricentro, el ortocentro y el incentro y exincentros, respectivamente.

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