El Árbol de Pitágoras

El tan conocido y mencionado en la escuela teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Una forma tradicional de representar dicho teorema es la de la siguiente figura:

Teorema_de_Pitagoras

Podemos plantearlo como que tenemos un cuadrado, y sobre uno de sus lados construimos un triángulo rectángulo, de manera que sobre cada uno de los dos catetos de ese triángulo construimos sendos cuadrados de lado dichos catetos respectivamente.

Ahora, con los dos cuadrados construidos posteriormente podemos repetir el mismo procedimiento. Si, por ejemplo, lo repetimos dos veces más, tendríamos algo así:

arbol_3pasos

Este procedimiento podemos repetirlo tantas veces como queramos obteniendo… un fractal, conocido como Árbol de Pitágoras. Fue construido por primera vez por el profesor de matemáticas Albert E. Bosman (1891-1961), en Holanda en 1942.

Seguir leyendo…

Advertisements

Solución a… ¿Cuántos cuadrados puedes dibujar?

El pasado 23 de mayo de 2014 publiqué el siguiente acertijo:

«Uniendo los puntos de la imagen, ¿cuántos cuadrados se pueden dibujar en una retícula de 4 x 4 puntos?

cuadrados-en-puntos

 Nota: Los vértices del cuadrado deben coincidir con los puntos.»

Vamos a ver la SOLUCIÓN

Seguir leyendo…

Fractal en 3D… Un viaje por el interior de un Mandelbox

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas (Benoît Mandelbrot, La Geometría Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 84-8310-549-7).

El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica es un número no entero.

En matemáticas, el mandelbox es un fractal especial en forma de caja, resultado del análisis multifractal.

Representa los puntos en el espacio que no se van al infinito bajo la acción de un conjunto de transformaciones geométricas.

Se puede definir en cualquier número de dimensiones, aunque generalmente se hace en tres dimensiones al ser mucho más ilustrativo.

Imagen de un mandelbox de escala 2 (Imagen de Dominio Público)

Seguir leyendo…

Polígono de perímetro infinito y área finita… ¡en una hoja!

Imagina que tienes un cuadrado de lado l cualquiera.

27 01

su área y su perímetro son:

27 01b27 01c

Si ahora quieres obtener una figura que tenga más perímetro pero el mismo área…

Seguir leyendo…

¿Cuántos cuadrados puedes dibujar?

Uniendo los puntos de la imagen, ¿cuántos cuadrados se pueden dibujar en una retícula de 4 x 4 puntos?

cuadrados-en-puntos

Ejemplo:

cuadrados-en-puntos-ejemplo

 Nota: Los vértices del cuadrado deben coincidir con los puntos.

El huerto heredado… SOLUCIÓN

El acertijo o puzzle geométrico del huerto heredado decía así:

puzzle-reparto

«Cuatro hermanos han heredado un huerto con árboles frutales, y lo quieren dividir en cuatro partes iguales, pero para hacerlo de la forma más equitativa posible, ponen dos condiciones:

– Todas las partes de la división han de ser iguales y deben tener la misma forma.

– Cada parte debe contener el mismo numero de árboles.»

Un amigo de este blog dió una solución al problema, pero no es la única.

Si os parece bien, vamos a ver cuál es el razonamiento que se puede seguir para resolver el acertijo y, por supuesto, apoyándonos con imágenes, que es como mejor se ven y se entienden las cosas.

SOLUCIÓN

Seguir leyendo…

El huerto heredado

puzzle-reparto

Cuatro hermanos han heredado un huerto con árboles frutales, y lo quieren dividir en cuatro partes iguales, pero para hacerlo de la forma más equitativa posible, ponen dos condiciones:

  • Todas las partes de la división han de ser iguales y deben tener la misma forma.
  • Cada parte debe contener el mismo numero de árboles.

Existen varias soluciones al problema.

Consigue un rectángulo… en un solo paso

6x4

Observa el puzzle de la imagen anterior.

Se trata de dividir la imagen en dos partes iguales, con las que podamos formar un rectángulo de 6×4.

Quizás no sea sencillo de ver a primera vista, no obstante, inténtalo.

¿Lo tienes ya?

Bueno, no os preocupéis si no dais con la respuesta, os muestro la solución en el siguiente enlace.

SOLUCIÓN

¿Cuántos triángulos hay en la imagen?

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente imagen?

cuantos-triangulos-hay

Debes contar todos los triángulos existentes formados por una o más piezas.

SOLUCIÓN a ¿Cuántos cuadrados hay dibujados en la imagen?

El problema planteado es el siguiente:

Un consejo y a la vez una pista: para dar con el resultado, lo mejor es contar los cuadrados por tamaño.«

Veamos la SOLUCIÓN

Seguir leyendo…

Los cuadrados mágicos III (Cuadrados geomágicos)

Continuando con los cuadrados mágicos, de los que ya publiqué dos entradas, Los cuadrados mágicos I (15/02/2014) y Los cuadrados mágicos II (4/03/2014), os acerco ahora esta tercera entrada sobre algo que he visto recientemente y que me parece muy interesante, pues le da una vuelta más a los ya de por si curiosos cuadrados mágicos: Los cuadrados mágicos geométricos.

cuadrado geomagico

La imagen muestra un cuadrado mágico geométrico o cuadrado geomágico.

De manera similar a los cuadrados mágicos, en los que al sumar todos los números de una fila, columna o diagonal siempre obtenemos el mismo resultado (número mágico), en este cuadrado geomágico si juntamos todas las piezas de una fila, columna o diagonal obtenemos siempre una figura del mismo tamaño y forma.

Los cuadrados geomágicos fueron inventados en 2001 por el ingeniero electrónico británico Lee Sallows, aficionado a las matemáticas recreativas.

A continuación os pongo algunos ejemplos más de cuadrados geomágicos sacados de su propia página.

Seguir leyendo…

¿Cuántos cuadrados hay dibujados en la imagen?

Un consejo y a la vez una pista: para dar con el resultado, lo mejor es contar los cuadrados por tamaño.


Suscríbete al blog por correo electrónico

¡No te pierdas nada! Suscríbete de forma totalmente gratuita y recibirás un aviso a tu email cada vez que se publique una nueva entrada.

Únete a otros 3.565 suscriptores

El cubo de Necker

cubo-necker1-300x300

Observando la imagen anterior…

¿En que posición dirías que está el punto azul?

¿En la esquina inferior derecha del plano posterior o en la esquina inferior derecha del plano frontal?

Seguir leyendo…

La Pirámide de Keops y el Teorema de Tales

Pirámide de Keops

Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto (s. IV a. C) acerca de la altura de la Pirámide de Keops, cuando ya las pirámides rondaban los 2.000 años de edad, y éste respondió con un método de lo más ingenioso para medir dicha altura.

Seguir leyendo…

Planilandia: una novela en muchas dimensiones

 Edwin Abbott Abbott fue un longevo teólogo y matemático nacido en la Inglaterra de mediados del siglo XIX.

Este hijo de padres primos hermanos vistió muy joven los hábitos religiosos movido por una profunda devoción y alcanzó importantes cargos, tanto en el mundo académico como en la iglesia anglicana.

A pesar de su prolífica obra teológica de tendencia liberal y de sus activas contribuciones a la gramática y filología inglesas, su obra más conocida es «Planilandia: una novela en muchas dimensiones» (1884), libro que escribió bajo el pseudónimo de A. Square (un cuadrado).

Chistes geométricos…

humor-geometria

 

Humor entre ángulos…

Un poco de humor… entre ángulos.

humor-angulos

A %d blogueros les gusta esto: