Los Elementos de Euclides es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece partes o libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría… casi nada.
Es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de mil ediciones).
El teorema 4 del Libro II enuncia: «Si se corta al arbitrio un segmento, el cuadrado de la línea entera es igual al cuadrado de las partes más el duplo del rectángulo comprendido por las partes«.
Quizás así no resulte tan familiar, pero vamos a verlo con más detalle.
Si llamamos, por ejemplo, c a la línea entera, y la cortamos en las partes a y b,
es decir si c = a + b, entonces Euclides dice que c2 = a2 + b2 + 2ab (ab es lo que Euclides llama el rectángulo comprendido por las partes).
Y si c = a + b, la expresión anterior la podemos escribir como:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
¡Ahora sí! ¿verdad?
Una de las identidades notables que tanto se atragantan a muchos estudiantes. Concretamente se trata del cuadrado del binomio.
Pues sí, Euclides ya la enunció por el 300 a. C… hace ya unos añitos. Pero no sólo hizo eso, sino que dio una demostración, y gráfica, como no podía ser de otra manera.
Es la famosa demostración que aparece en los libros de texto y, por supuesto, por internet…
La primera imagen es un cuadrado de lado a + b, y en la segunda imagen se observa que ese cuadrado está formado por uno de área a2, otro de área b2 más dos rectángulos de área ab. Es decir, comparando las áreas de los dos cuadrados se tiene que:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
que es lo que Euclides quería demostrar.
Pues bien, esto lo podemos llevar a su versión tridimensional, es decir, en lugar de demostrar el cuadrado del binomio, demostrar la identidad del cubo del binomio.
¿Y cuál es esa identidad?
