División de potencias del mismo exponente

La división o cociente de potencias del mismo exponente es bastante sencilla de hacer.

Para dividir potencias que tengan el mismo exponente, simplemente tenemos que dividir las bases y dejar el mismo exponente.

Por ejemplo:

154 : 54 = (15 : 5)4 = 34

Pero, ¿por qué se pueden dividir potencias con el mismo exponente de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos varios ejemplos para que quede todo muy claro. Verás qué fácil es.

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Multiplicación de potencias del mismo exponente

El producto o multiplicación de potencias del mismo exponente es bastante sencillo.

Para multiplicar potencias que tengan el mismo exponente, simplemente hay que multiplicar las bases y dejar el mismo exponente.

Por ejemplo:

34 · 54 = (3·5)4 = 154

Pero, ¿por qué se pueden multiplicar potencias con el mismo exponente de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos bastantes ejemplos para que quede todo muy claro. Verás qué fácil es.

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División de potencias de la misma base

La división o cociente de potencias de la misma base es realmente fácil.

Para dividir potencias que tengan la misma base, simplemente hay que dejar la misma base y restar los exponentes.

Por ejemplo:

28 : 23 = 28-3 = 25

Pero, ¿por qué se puede hacer de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos bastantes ejemplos para que quede todo muy claro. Verás que es muy sencillo.

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Multiplicación de potencias de la misma base

El producto o multiplicación de potencias de la misma base es realmente sencillo.

Para multiplicar potencias que tengan la misma base, simplemente hay que dejar la misma base y sumar los exponentes.

Por ejemplo:

53 · 54 = 53+4 = 57

Pero, ¿por qué se puede hacer de esta forma tan sencilla?

Te lo explico en el siguiente vídeo, y hacemos bastantes ejemplos para que quede todo muy claro. Verás que es muy fácil.

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Potencia de una potencia

¿Qué es una potencia de una potencia?

Es una potencia cuya base es otra potencia.

Por ejemplo, (32)3 es una potencia de una potencia, ya que se trata de una potencia cuya base es otra potencia 32 y su exponente es 3.

Calcular una potencia de una potencia es realmente sencillo, ya que es igual a otra potencia que tiene la misma base, y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

En el ejemplo anterior sería:

(32)3 = 32·3 = 36

Pero, ¿por qué se puede calcular así? ¿Qué pasa si hay, por ejemplo, una potencia de una potencia de una potencia?

En el siguiente vídeo lo explico todo con más detalle: Aprendemos a calcular una potencia de una potencia como he comentado antes, vemos por qué se puede calcular así, y hacemos bastantes ejemplos, incluso con potencias de potencias de potencias

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Potencias de base negativa… ¡Impostor!

Si esto fuera una partida de «Among Us», el impostor sería claramente -52, a pesar de que muchos piensen que no es así, y es que, desafortunadamente, en este tema hay un error demasiado extendido.

Empecemos diciendo qué es una potencia de base negativa.

Una potencia de base negativa es una potencia cuya base es negativa

¡Oooohhhhhh!

¡Qué gran descubrimiento!

De acuerdo, no he dicho gran cosa, pero la clave está en saber distinguir cuándo una potencia tiene base negativa y cuándo, a pesar de aparecer un menos, no tiene base negativa.

¿Perdona? ¿Dices que aunque haya un menos la base no tiene por qué ser negativa?

Efectivamente.

Para que la base de una potencia sea negativa debe estar el número negativo entre paréntesis.

Te lo pongo en un pósit para que no se te olvide:

Si volvemos a la imagen del comienzo de esta publicación, la potencia de base negativa sería (-5)2 y, como ya comenté al principio, no lo sería -52, que sin duda sería el… ¡Impostor!

¿Y el menos entonces?

Pues ese menos afecta a toda la potencia, es decir a 52, pero no está afectado por el exponente de la misma, pues para ello tendría que formar parte de la base, y no lo hace.

Pero… ¿Qué diferencia hay entre ambas al calcularlas?

Mejor que escribírtelo todo por aquí, te lo cuento en el siguiente vídeo de viva voz (bueno, voz grabada, aunque estaba vivo cuando lo grabé, así que supongo que cuenta como «viva voz»). Te explico además cómo afecta el hecho de que el exponente sea par o impar al resultado de las potencias de base negativa, y cómo se calculan unas y otras con varios ejemplos:

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Potencias. Introducción y conceptos básicos

¿Qué es una potencia?

Una potencia es una forma abreviada o resumida de escribir una multiplicación repetida de un mismo factor.

En una potencia hay dos partes: La base, que nos indica cuál es el factor que se repite; y el exponente, que nos dice el número de veces que aparece repetido ese factor.

Un ejemplo de potencia sería el siguiente:

23

En esta potencia, la base es 2, y el exponente es 3. Por lo tanto, el 2 es el factor que se va a repetir multiplicado por si mismo, y va a aparecer 3 veces:

23 = 2 · 2 · 2 = 8

En el siguiente vídeo vamos a ver con más detalle el concepto de potencia, las partes o elementos que tienen (base y exponente), qué significa cada uno, cómo calcular una potencia, y también cómo expresar una multiplicación repetida en forma de potencia:

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Potencia de una raíz

Calcular una potencia de una raíz, es decir una potencia cuyo radicando es una raíz o radical, es muy sencillo, ya que es una raíz que conserva el mismo índice, en la que la base de la potencia del radicando tampoco cambia, y el exponente de fuera entra en el radical multiplicando al exponente que tenía el radicando.

Pero, ¿por qué se puede calcular así? ¿Qué pasa si hay más potencias de potencias de la raíz?

Os lo explico todo, y resuelvo varios ejemplos, en el siguiente vídeo:

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Suma y resta de radicales

Vamos a ver la suma y la resta de radicales.

Lo primero que debemos tener en cuenta es que para poder sumar y restar radicales se necesita que sean semejantes.

¿Qué quiere decir que dos radicales sean semejantes?

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Si los radicales tuviesen distinto índice tendríamos que reducirlos a índice común previamente.

Por otro lado, para intentar conseguir que los radicales tengan el mismo radicando, tenemos primero que descomponer en factores primos los radicandos, e intentar después extraer factores de los radicales.

Por último, sumaremos o restaremos los radicales que sean semejantes, haciendo operaciones con los coeficientes que quedan multiplicando a dichos radicales.

En el siguiente vídeo lo explico con detalle, paso a paso, y a través de varios ejemplos:

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Multiplicación y división de radicales

Para poder multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice.

Cuando no tienen el mismo índice hay que reducirlos antes a índice común.

El producto de radicales con el mismo índice es igual a un único radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de multiplicar los radicandos.

En el siguiente vídeo lo explico con detalle y a través de varios ejemplos:

Cuando tenemos que multiplicar radicales que tienen distinto índice, como comentaba anteriormente, es necesario previamente reducirlos a índice común. En el siguiente vídeo lo podéis ver explicado paso a paso con varios ejemplos:

El cociente o división de radicales con el mismo índice es igual a un único radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de dividir los radicandos.

Lo vemos con detalle en el siguiente vídeo:

Cuando tenemos que dividir radicales que tienen distinto índice, como ocurre con la multiplicación, hay que reducirlos primero a índice común. En el siguiente vídeo lo podéis ver explicado paso a paso con varios ejemplos:

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Introducir factores en un radical

Las propiedades de los radicales nos permiten, entre otras cosas, introducir factores en un radical.

Para introducir un factor dentro de un radical, lo hacemos multiplicando su exponente por el índice del radical, y entra en el radical multiplicando al radicando que ya hubiese.

En el siguiente vídeo lo explico todo con detalle, paso a paso, y a través de varios ejemplos que contemplan las distintas situaciones que nos podemos encontrar:

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Raíz de una raíz

Calcular una raíz de una raíz, es decir una raíz cuyo radicando es otra raíz, es muy sencillo, ya que es una única raíz que conserva el mismo radicando y cuyo índice es el producto de los índices.

Pero, ¿por qué se puede calcular así? ¡Qué pasa si hay más raíces dentro de otras raíces?

Os lo explico todo, y resuelvo varios ejemplos, en el siguiente vídeo:

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Simplificar índice y exponente en un radical. Simplificar radicales

Cuando queremos simplificar un radical, una forma de hacerlo es extrayendo factores del radical (siempre que se pueda hacer), y la otra, que es complementaria a la anterior, es intentar simplificar el índice y los exponentes de las potencias que haya en el radicando, siempre que sea posible.

En unas ocasiones se podrán hacer las dos cosas mencionadas anteriormente, en otras solo una de ellas, y en otras ninguna de las dos y el radical no se podrá simplificar.

Para simplificar un radical simplificando el índice y los exponentes, basta con dividir tanto el índice del radical como los exponentes de las potencias que haya en el radicando entre su máximo común divisor (M.C.D.).

En el siguiente vídeo lo explico paso a paso con varios ejemplos, justificando además por qué se puede simplificar así un radical:

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Extraer factores de un radical. Simplificar radicales

Las propiedades de los radicales nos permiten, entre otras cosas, extraer factores de un radical para poder simplificarlos.

En muchas ocasiones, se trata simplemente de eso, de simplificarlos para hacer más sencillos los cálculos, pero en otras ocasiones es un paso necesario para poder realizar determinadas operaciones, como la suma y resta de radicales en la que se necesita que tanto los índices como los radicandos de los radicales sean iguales. Para ello solemos extraer factores de cada radical hasta conseguirlo.

Cuando el radicando no está factorizado, el paso previo a poder extraer factores del radical es descomponer dicho radicando en factores primos.

En el siguiente vídeo lo explico todo con detalle, paso a paso, y a través de varios ejemplos que contemplan las distintas situaciones que nos podemos encontrar:

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Reducir radicales a índice común

Cuando tenemos varios radicales con distinto índice, y tenemos que hacer operaciones de multiplicación o división entre ellos, o compararlos, necesitamos que tengan todos el mismo índice.

Para conseguirlo hacemos el paso previo de reducirlos a índice común, sustituyéndolos por otros radicales equivalentes, todos con el mismo índice e igual al mínimo común múltiplo de los índices.

Para ello utilizamos una de las propiedades de los radicales, que nos dice que si en un radical se multiplican tanto el índice como el exponente del radicando por un mismo número, el radical que se obtiene es equivalente.

Te explico con detalle cómo reducir radicales a índice común en el siguiente vídeo:

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Operaciones combinadas con fracciones. Jerarquía de operaciones

Para realizar operaciones combinadas con fracciones es fundamental saberse bien la jerarquía de operaciones, es decir, el orden correcto en que deben realizarse las operaciones.

Se resuelven primero las operaciones que aparecen dentro de paréntesis y corchetes, y después el resto, siguiendo tanto dentro como fuera de los paréntesis este orden:

1. Potencias

2. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha)

3. Sumas y restas

A continuación incluyo cuatro vídeos con cuatro ejemplos resueltos, explicados paso a paso y repasando en ellos cada una de las operaciones básicas que se realizan (sumas y restas de fracciones, multiplicaciones, divisiones y potencias):

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Potencia de una fracción

Calcular la potencia de una fracción es muy fácil, para ello simplemente tenemos que elevar el numerador y el denominador de la fracción al exponente de dicha potencia.

Vemos por qué es así, y varios ejemplos resueltos y explicados de potencias de fracciones positivas y negativas, en el siguiente vídeo:

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División de fracciones

Dividir dos fracciones es realmente sencillo, basta con hacer multiplicaciones «en cruz«, es decir, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y el resultado lo colocamos en el numerador, y multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y colocamos el resultado en el denominador.

Hacemos, por lo tanto las multiplicaciones «en cruz» y, cuando empezamos multiplicando por arriba (por el numerador de la primera fracción) colocamos el resultado de la multiplicación arriba (en el numerador de la fracción resultado); Cuando empezamos multiplicando por abajo (por el denominador de la primera fracción) colocamos el resultado de la multiplicación abajo (en el denominador de la fracción resultado).

Lo vemos con varios ejemplos en el siguiente vídeo:

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Multiplicación de fracciones

Multiplicar dos fracciones es muy sencillo, basta con hacer multiplicaciones «en línea«, es decir, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y colocamos el resultado en el numerador, y multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y colocamos el resultado en el denominador.

Lo vemos con varios ejemplos en el siguiente vídeo:

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Suma y resta de fracciones y números

Cuando tenemos que hacer operaciones de suma o resta entre fracciones y números, con un simple paso lo podemos convertir en una operación de suma o resta de fracciones con distinto denominador.

Para ello, lo que hacemos es sustituir el número por una fracción cuyo numerador es el propio número, y cuyo denominador es la unidad.

De esta manera lo que tenemos ya es, como comentaba, operaciones de suma y resta de fracciones con distinto denominador.

Lo explico con detalle y con un par de ejemplos en el siguiente vídeo:

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